\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+abc-4\ge0\)

BĐT trên đúng theo AM-GM nên ta có đpcm.

Tth lam kieu j vay,

shitbo Dùng bđt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Rút gọn rồi quy đồng + chuyển vế sẽ chứng minh được \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le1\)

Đặt \(x=a^{\frac{1}{3}};y=b^{\frac{1}{3}};z=c^{\frac{1}{3}}\Rightarrow xyz=1\) và:

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^6+5}+\frac{y^3}{y^6+5}+\frac{z^3}{z^6+5}\le\frac{1}{2}\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{4x^3}{x^6+5}\le\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(3x^6+6x^3+5\right)}{\left(x^6+5\right)\left(x^6+x^3+1\right)}\le0\forall0< x\le1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}+\frac{y^3+1}{y^6+y^3+1}+\frac{z^3+1}{z^6+z^3+1}\right)\)

Cần chứng minh \(\frac{x^3+1}{x^6+x^3+1}+\frac{y^3+1}{y^6+y^3+1}+\frac{z^3+1}{z^6+z^3+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{x^6+x^3+1}+\frac{y^6}{y^6+y^3+1}+\frac{z^6}{z^6+z^3+1}\ge1\)

Có dạng \(\frac{x^{2k}}{x^{2k}+x^k+1}+\frac{y^{2k}}{y^{2k}+y^k+1}+\frac{z^{2k}}{z^{2k}+z^k+1}\ge1\forall xyz=1\)

Với k=1 thì có BĐT Câu hỏi của Vũ Tiền Châu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến tương tự với bài này (ko biết AD đã fix lỗi ko dán dc link học 24 vào olm chưa, nếu chưa thì ib t gửi full link )

Q.lý nào onl duyệt giúp e với 

:D bác thắng xuất thần rồi 

Ta có: \(\frac{1}{a+1}\ge2-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}=\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự \(\frac{1}{b+1}\ge\frac{c}{c+1}+\frac{a}{a+1}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)

               \(\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân từng vế, ta có: 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Từ đề bài suy ra \(\frac{1}{a+1}\ge\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự với hai bđt kia rồi nhân theo vế suy ra

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

Do a, b, c>0 nên (a+1)(b+1)(c+1) > 0 suy ra:

\(1\ge8abc\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2

Trả lời hộ mình đi

Ta có 

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{1+b-1}{1+b}+\frac{1+c-1}{1+c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)( nhỏ hơn vậy do bất đẳng thức Cosy với 2 số)

tương tư ta chứng minh được

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức vừa chứng mình được 

\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc.\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}:\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)

\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)

\(\Rightarrow1\ge8abc\Rightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)

Ủng hộ cho mình 1 cái T I C K nha . Cảm ơn bạn rất nhiều

____________________________CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA ________________________________

Dấu "=" nữa Tùng ơi!

Cơ mà Linh k rùi, vất vả quá! :D

à quên nữa . Cảm ơn Linh mai sáng bổ sung luôn giờ mệt quá !!!

Chắc bạn ghi nhầm đề, ko có số hạng \(\frac{1}{1+d}\)

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) ; \(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

hay ko = hên :)) nghĩ bừa cái ra lun 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+1=1-\frac{1}{b}+1-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+1}{a}=\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}{bc}}\)

Tương tự ta cũng có : 

\(\frac{b+1}{b}\ge2\sqrt{\frac{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}{ca}};\frac{c+1}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}}\)

Nhân theo vế ta được : 

\(\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{abc}\ge8\sqrt{\frac{\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\left(c-1\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\frac{8\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le\frac{1}{8}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) ( đpcm ) 

...

Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)

\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)

                  \(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)