\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)

\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

câu hỏi là gì ?

xin lỗi, mình đánh thiếu. Chứng minh: P=1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(T=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

\(\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}\) (theo BĐT AM-GM)

Vậy $T_{\min}=\frac{3}{2}$.

Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$

thiếu đề à ?cho thế là xong à?

mẫu phải là mũ 2 chứ,sao lại mũ 3 zậy bn

mũ 2 và mũ 3 nha bạn. cả 2 cái cách làm tương tự nhau.nếu bạn ko làm đc mũ 3, bn có thể làm mũ 2 chi mình xem đc ko

làm thì làm được nhưng mũ 3 rắc rối hơn

 ta có:

\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3b^2\sqrt[3]{a}}=a-\frac{2b\sqrt[3]{a^2}}{3}\)

tương tự như thế 

\(\frac{b^2}{b+2c^3}\ge a-\frac{2c\sqrt[3]{b^2}}{3};\frac{c^2}{c+2a^3}\ge c-\frac{2a\sqrt[3]{c^2}}{3}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(b\sqrt[3]{a^2}\le\frac{2a+b}{3};c\sqrt[3]{b^2}\le\frac{2b+c}{3};a\sqrt[3]{c^2}\le\frac{2c+a}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge a+b+c-\frac{4a+2b}{9}-\frac{4b+2c}{9}-\frac{4c+2a}{9}=3-2=1\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Ta có: \(\frac{2a+b+c}{a}=\frac{a+2b+c}{b}=\frac{a+b+2c}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c}{a}-1=\frac{a+2b+c}{b}-1=\frac{a+b+2c}{c}-1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)

Mà \(a,b,c\ne0\)

=> a = b= c

\(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

      \(=\frac{c+c}{c}+\frac{a+a}{a}+\frac{b+b}{b}\)

        \(=\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}\)

          \(=2+2+2=6\)

đặt \(3^{13579}=m\).

Vì (3;13579)=1 nên (13579;m)=1 (*)

đem m+1 số \(13579;13579^2;...;13579^{m+1}\)chia cho m

Theo nguyên lý Dirichle  trong m+1 số trên có ít nhất 2 số khi chia cho m có cùng số dư

Gọi 2 số đó là \(13579^x\&13579^y\)(tự đk cho x;y)

giả sử x>y

=>13579^x-13579^y chia hết cho m

=>\(13579^y\left(13579^{x-y}-1\right)\)chia hết cho m

mà 13579^y không chia hết cho m nên 13579^x-y  -1 chia hết cho m

=>tồn tại n=x-y thỏa mãn đề bài

tại sao 13579^y ko chia hết cho m

vì (*) mk có đánh dấu vào đó