\(Cho:\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}\)
\(CMR:\orbr{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=0\end{cases}}\)
Cho dãy tỉ số :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}\)
Chứng minh rằng:
\(\orbr{\begin{cases}a=b=c=d\\a=-b=c=-d\end{cases}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=1\\\frac{b}{c}=1\\\frac{c}{d}=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=d\end{cases}\Rightarrow}a=b=c=d\left(đpcm\right)}\)
Câu còn lại ? đề luôn
Cho\(a+b+c=2018\) và\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\)CMR: \(\orbr{\begin{cases}x=2018\\y=2018\end{cases}}\)hoặc z=2018
Sửa đề cmr a=2018 hoặc b=2018 hoặc c=2018, đây là toán 8
\(a+b+c=2018\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2018}\)
=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
<=>\(\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-ab\left(a+b\right)\)
<=>\(\left(a+b\right)\left(ca+bc+c^2\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
<=>\(\left(a+b\right)\left(ca+bc+c^2+ab\right)=0\)
<=>\(\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0\)
<=>\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
<=>a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
Mà a+b+c=2018
=>c=2018 hoặc a=2018 hoặc b=2018 (đpcm)
cho \(\hept{\begin{cases}b+c\ne0\\c+a\ne0\\b-a\ne0\end{cases}}\)và c < 0, b > 0 thỏa mãn \(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b-a}=0\)CMR a < 0
1. cho \(-1\le a,b,c\le2\) và a+b+c=0. CMR \(a^2+b^2+c^2\le6\)
2. cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\)cmr hoán vị của \(a\sqrt[3]{1+b-c}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
3. \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\)cmr: hoán vị của\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{9}{10}\)
4. \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le\frac{3}{2}\end{cases}}\)cmr: hoán vị của \(a\sqrt[3]{1+b-c}\le1\)
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
lười quá khỏi nghĩ đưa link
| Inequalities (ko dịch dc thì pm)
Cho\(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\abc>1\end{cases}CMR:}2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge7\left(a+b+c\right)-3\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
TH1: Với a+b+c=0\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
Ta có:\(S=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}\)
\(=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}\)
\(=-1\)
TH2: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(b-c\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)
Ta có: \(S=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(=2.2.2=8\)
Vậy .... ( ko bít ghi kiểu gì luôn -.- )
\(cho:\frac{a^2+2004^2}{b^2+2005^2}=\frac{2004a}{2005b}\left(a,bkhac0\right).CMR:\orbr{\begin{cases}\frac{a}{2004}=\frac{b}{2005}\\\frac{a}{2004}=\frac{2005}{b}\end{cases}}\)
Cho 4 số dương a, b, c, d CMR \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\ge\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}2\)
\(Cho\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=abc\end{cases}}\)
CMR\(A=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}\)
Đặt x = 1/a ; y = 1/b, z = 1/c với x,y,z > 0
đk <=> 1/x + 1/y + 1/z = 1/(xyz)
<=> xy + yz + zx = 1
A = √[yz/(1+x²)] + √[zx/(1+y²)] + √[xy/(1+z²)]
Ta có:
1 + x² = x² + xy + yz + zx = (x+z)(x+y)
=> √[yz/(1+x²)] = √[y/(x+y)] . √[z/(x+z)]
≤ 1/2 . [y/(x+y) + z/(x+z)] (1)
(áp dụng bđt Cosi: √m .√n ≤ 1/2 . (m+n))
Tương tự:
√[xz/(1+y²)] = √[x/(x+y)] . √[z/(y+z)] ≤ 1/2 . [x/(x+y) + z/(y+z)] (2)
√[xy/(1+z²)] = √[y/(z+y)] . √[x/(x+z)] ≤ 1/2 . [y/(z+y) + x/(x+z)] (3)
Cộng vế của (1),(2) và (3) lại ta được:
A ≤ 1/2 . 3 = 3/2
Vậy Max A = 3/2 xảy ra <=> x = y = z = 1/√3 <=> a = b = c = √3
bạn trả lời lại bằng phần mềm của OLM đươc ko? Thế này hơi khó hiểu bạn ạ! Thanks
Đặt x = 1/a ; y = 1/b, z = 1/c với x,y,z > 0
đk <=> 1/x + 1/y + 1/z = 1/(xyz)
<=> xy + yz + zx = 1 A = √[yz/(1+x²)] + √[zx/(1+y²)] + √[xy/(1+z²)]
Ta có: 1 + x² = x² + xy + yz + zx = (x+z)(x+y)
=> √[yz/(1+x²)] = √[y/(x+y)]
. √[z/(x+z)] ≤ 1/2 . [y/(x+y) + z/(x+z)] (1)
(áp dụng bđt Cosi: √m .√n ≤ 1/2 . (m+n))
Tương tự: √[xz/(1+y²)] = √[x/(x+y)] . √[z/(y+z)] ≤ 1/2 . [x/(x+y) + z/(y+z)] (2)
√[xy/(1+z²)] = √[y/(z+y)] . √[x/(x+z)] ≤ 1/2 . [y/(z+y) + x/(x+z)] (3)
Cộng vế của (1),(2) và (3) lại ta được: A ≤ 1/2 . 3 = 3/2
Vậy Max A = 3/2 xảy ra <=> x = y = z = 1/√3 <=> a = b = c = √3