Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn
\(ab+1⋮a^2+b^2\)
CMR: \(\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)là bình phương của 1 số nguyên
Các bạn giúp mik bài này vs nhé ! Cảm ơn cacban nhiều ! Yêu thương! <3
1) Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn : a^2 + b^2 = c^2
CMR : ab chia hết cho cả a+b+c và a+b-c
2) Cho p là số nguyên tồ lớn hơn 3
CMR : p^2 -2017 chia hết cho 24
3)Tìm x,y,z thỏa mãn :
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3\)
Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh \(A=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương
\(A=\left(1+b^2+a^2+a^2b^2\right).\left(1+c^2\right)\)
\(=1+a^2+b^2+c^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+a^2b^2c^2\)
\(=1+\left(a+b+c\right)^2-2.\left(ab+bc+ac\right)+\left(ab+bc+ac\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
Thay ab+bc+ac=1 vào A, ta có:
\(A=1+\left(a+b+c\right)^2-2+1-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
\(=\left(a+b+c-abc\right)^2\)
Vì a,b,c thuộc Z
\(\Rightarrow\left(a+b+c-abc\right)^2\)là số chính phương
\(\hept{\begin{cases}\left(1+a^2\right)=\left(ab+bc+ca+a^2\right)=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\\left(1+b^2\right)=\left(ab+bc+ca+b^2\right)=a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\\left(1+c^2\right)=\left(ab+bc+ca+c^2\right)=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A=\text{[}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\text{]}^2\Rightarrow\text{đ}pcm\)
1,cho số nguyên tố p(p>3) và 2 sô nguyên dương a,b sao cho p^2 + a^2=b^2. chứng minh a chia hết cho 12 và 2(p+a+1) là số chính phương
2, cho x,y,z >=0 thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1. tìm GTLN và GTNN của biểu thức: T= x/(1-yz) + y/(1-zx) + z/(1-xy)
giúp mình với ạ!!
cần gấp
cái này mik chịu, mik mới có lớp 7
1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)
Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố
=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)
Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Mà p là số nguyên tố
=> \(p^2\)chia 8 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)
+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> \(p^2\)chia 3 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)
Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)
Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)
2, \(T=\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-xz}+\frac{z}{1-xy}\)
Áp dụng cosi ta có \(yz\le\frac{y^2+z^2}{2}\)
=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{x}{1-\frac{y^2+z^2}{2}}=\frac{2x}{2-y^2-z^2}=\frac{2x}{1+x^2}\)
Lại có \(x^2+\frac{1}{3}\ge2x\sqrt{\frac{1}{3}}\)
=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{2x}{\frac{2}{3}+2x\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{x}{\frac{1}{3}+x\sqrt{\frac{1}{3}}}\le\frac{x.1}{4}\left(\frac{1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{x\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)=\frac{1}{4}.\left(3x+\sqrt{3}\right)\)
Khi đó \(T\le\frac{1}{4}.\left(3x+3y+3z+3\sqrt{3}\right)\)
Mà \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\sqrt{3}\)
=> \(T\le\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(MaxT=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ba số nguyên tố có tổng là 106 nên trong ba số này phải có 1 số chẵn => Trong ba số nguyên tố cần tìm có 1 số hạng là số 2.
Tổng hai số còn lại là 106 - 2 = 104.
Gọi 2 số nguyên tố còn lại là a và b (a > b).
Ta có a + b = 104 => Để số a là số nguyên tố lớn nhất nhỏ nhất thì b phải là số nguyên tố nhỏ nhất.
Số nguyên tố b nhỏ nhất là 3 => a = 104 - 3 = 101 cũng là 1 số nguyên tố (thỏa mãn yêu cầu đề bài).
Vậy số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 101.
cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mãn.tổng của 160 và bình phương của của a bằng tổng của 5 và bình phương của b
Tổng của 320 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của c .
Tìm a
160+a2=5+b2
<=> b2-a2=155
<=> (b-a)(b+a)=155 (1).
Lại có b-a,b+a là các số nguyên, b-a<b+a (2).
Từ (1),(2) ta có bảng:
b-a 1 5
b+a 155 31
a 77 13
Với a=77 thì c không nguyên (loại).
Với a=13 thì c=22 (t/m).
Vậy a=13.
Chúc bạn học tốt.
cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mãn.tổng của 160 và bình phương của của a bằng tổng của 5 và bình phương của b
Tổng của 320 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của c .
Tìm a
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: ab + bc+ ca = 3
Tìm GTNN của: \(M=\frac{19a+3}{1+b^2}+\frac{19b+3}{1+c^2}+\frac{19c+3}{1+a^2}\)
Ta có:
\(M=\frac{19a+3}{1+b^2}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)
\(=19a-\frac{19ab^2-3}{b^2+1}+19b-\frac{19bc^2-3}{c^2+1}+\frac{19ca^2-3}{a^2+1}\)
\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{19ab^2-3}{2b}-\frac{19bc^2-3}{2c}-\frac{19ca^2-3}{2a}\)
\(=19\left(a+b+c\right)-19\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge19.3-\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Lại có:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge3\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}=\frac{3.9}{3}=9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}.3=33\)
\(\)
Bài 1:Cho a,b là các số nguyên tố thỏa mãn: (a-1) chia hết cho b và (b3 - 1) chia hết cho a.Chứng minh: a= b2+b+1
Bài 2:Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:
x3 + y3 +3x2 + 4x + 3y2 +4y +4=0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=1/x+1/y
1) Vì a, b là số nguyên tố và a - 1 chia hết cho b nên a là số nguyên tố lẻ >=3 và b =2( vì a -1 chẵn)
b3 - 1 = 7 chia hết cho a, nên a =7. Vậy a = b2 + b + 1( 7 = 22 + 2 + 1)
Cho a và là 2 số nguyên dương thỏa mãn các tính chất sau:
a. (a+1) chia hết cho b
b. a=2b+5
c. a+7b là số nguyên tô
Hãy tìm a và b
Lời giải:
a+1\vdots b$
$\Rightarrow 2b+5+1\vdots b$
$\Rightarrow 2b+6\vdots b$
$\Rightarrow 6\vdots b\Rightarrow b\in \left\{1; 2; 3; 6\right\}$
Nếu $b=1$ thì $a=7$. Khi đó $a+7b=14$ không là snt (loại)
Nếu $b=2$ thì $a=9$. Khi đó $a+7b = 23$ là snt (thỏa mãn)
Nếu $b=3$ thì $a=11$. Khi đó $a+7b=32$ không là snt (loại)
Nếu $b=6$ thì $a=17$. Khi đó $a+7b = 59$ là snt (thỏa mãn)
Vậy.........