Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các tiếp điểm B, C. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Lấy M(M khác E, F) bất kì trên È, vẽ các tiếp tuyến MP, MQ tới (O) với P, Q là tiếp điểm. CMR: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ
Cho AB, AC là tiếp tuyến của (O) (B, C là các tiếp điểm). gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lấy M trên đoạn EF (M khác E, F). Vẽ tiếp tuyến MP, MQ tới (O) (P, Q là các tiếp điểm). C/m: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
Bài 1: Cho AB,AC là 2 tiếp tuyến của (O).Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB,AC. Trên EF, lấy M bất kì. Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O).
CMR: MA=MT
vẽ thêm tiếp tuyến MH cắt OA tại R, gọi I là giao điểm của OA và BC., K là giao điểm EF và OA
tam giác MKI vuông tại K có: MI^2=IK^2+ KM^2 (1)
tam giác MOH vuông tại H có MH^2= OM^2- OH^2 = OK^2+KM^2- OH^2 ( tam giác OKM vuông tại K)
chứng minh OK^2-OH^2=OK^2-OB^2=OK^2 - OI.OA( tam giác OAB vuông tại B có BI là đường cao, OB = OH =R)
=(OI + IK)^2 - OI(OI+2IK)=OI^2 + 2OI.IK+IK^2-OI^2- 2OI.IK=IK^2 ( IA = 2IK)
suy ra MH^2= IK^2+ KM^2 (2)
từ (1) và (2) suy ra MH = MI mà MH = MT ( t/c 2 tt cắt nhau), MI = MA ( cm tam giác MAI cân tại M)
suy ra MT = MA
từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC ( B,C là các tiếp điểm ). gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) ( M khác B và C ). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E,F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. tìm M để diện tích OPQ min
cho tam giác ABC nhọn AB<AC nội tiếp (O). Gọi D,E,F lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB,BC,CA. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt các đường thẳng BC và DF lần lượt tại M,N. Gọi P,Q lần lượt là giào điểm của BC với DF và AE. C/m:
a) AE vuông góc DF
b) MA=MQ, MN=MP
cho đường tròn (o;6cm) và điểm a có oa=10cm. kẻ các tiếp tuyến ab,ac với đường tròn (b,c là tiếp điểm) gọi h là giao điêm của oa,bc
a) tính oh
b) qua điểm m bất kì thuộc cung nhỏ bc, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt ab,ac lần lượt tại d và e. tính chu vi tam giác aed
c) tính góc doe
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó; AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH\cdot10=6^2=36\)
=>OH=36/10=3,6(cm)
b:
ΔOBA vuông tại B
=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=10^2-6^2=64\)
=>\(BA=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)
Xét (O) có
DB,DM là tiếp tuyến
Do đó: DB=DM và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
Xét (O) có
EM,EC là tiếp tuyến
Do đó: EM=EC và OE là phân giác của \(\widehat{MOC}\)
Chu vi tam giác AED là:
\(C_{AED}=AD+DE+AE\)
\(=AB-BD+DM+ME+AC-CE\)
=AB+AC
=2*AB
=16(cm)
c:
OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)
OE là phân giác của góc MOC
=>\(\widehat{MOE}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOC}\)
Xét ΔBOA vuông tại B có \(sinBOA=\dfrac{BA}{OA}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(\widehat{BOA}\simeq53^0\)
\(\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOM}+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{COM}\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOC}=\widehat{BOA}\)
\(=53^0\)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy điểm P bất kì nằm trong tam giác. Gọi trung trực của AC,AB cắt AP lần lượt ở E,F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) ở M. Đường thẳng qua F song song với AB cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở N.
a) Chứng minh rằng BN + CM = MN ?
b) Đường thẳng MN cắt 2 đường tròn (ABN),(ACM) lần lượt tại R,Q. Chứng minh rằng BQ cắt CR tại một điểm nằm trên (O) ?
a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.
Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 900, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.
Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.
Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.
Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T. Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:
BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).
b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:
Ta có: ^AQR + ^ACM = 1800 => ^AQR = 1800 - ^ACM = ^ABC = 1800 - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp
=> ^RSQ = ^RAQ = 1800 - ^AQR - ^ARQ = 1800 - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.
Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).
từ điểm a nằm ngoài đường tròn o vẽ hai tiếp tuyến ab ac trên cung nhỏ bc lấy m bất kì ( m khác b và c). gọi d e f lần lượt là hình chiếu của M trên bc ab ac
a, cm thứ giác bdme nọi tiếp đường tròn
b, cm góc dbm= góc mdf
c, de cắt bm tại h , df cắt cm tại k . chứng minh tứ giác dhmk nội tiếp đường tròn
d, cmr hk là tiếp tuyến chung của 2 đg tròn ngoại tiếp tam giác hme và t giác mkf
mn giải giúp mk với ghi vội nên tên các điểm mk k viết hoa ạ
Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB. Lấy M nằm trên đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O lần lược tại C và D. Gọi CD giao AB tại P. Gọi E là giao điểm của AM và BD. F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh E,F,P thẳng hàng
cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. lấy điểm C bất kì trên nửa đường tròn đó. tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần lượt ở M và N.
a) tính MÔN
b) chứng minh bốn điểm: O, A, M, C cuàng thược một đường tròn
c) gọi E là giao điểm của OM và AC, F là giao điểm của ON và BC
chứng minh: OE.OM= OF.ON