a: Xét ΔABD và ΔAMD có

AB=AM

góc BAD=góc MAD

AD chung

Do đó; ΔABD=ΔAMD

b: Xét ΔDBN và ΔDMC có

góc DBN=góc DMC

DB=DM

góc BDN=góc MDC

Do đó; ΔDBN=ΔDMC

=>BN=MC

c: Xét ΔANC có AB/BN=AM/MC

nên BM//CN

`@` `\text {dnammv}`

`a,`

Xét `\Delta ABC:`

\(\widehat {A}+ \widehat {B}+ \widehat {C}=180^0 (\text {định lý tổng 3 góc trong 1} \Delta)\)

`90^0+ 60^0 + \hat {B}=180^0`

`-> \hat {B}=180^0-90^0-60^0=30^0`

`->`\(\widehat {A}> \widehat {B} > \widehat {C} (90^0>60^0>30^0)\)

`@` Theo định lý giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác:

`-> \text {BC > AC > AB}`

`b,`

Xét `\Delta ABD` và `\Delta MBD`:

`\text {BD chung}`

\(\widehat {ABD}= \widehat {MBD}\) `(\text {tia phân giác}` `\hat {ABC})`

`AB = BC (g``t)`

`=> \Delta ABD = \Delta MBD (c-g-c)`

`c,` Vì `\Delta ABD = \Delta MBD (b)`

`-> \text {DA = DM (2 cạnh tương ứng)}`

`->` \(\widehat {BAD}= \widehat {BMD}\)`=90^0 (\text {2 góc tương ứng})`

Xét `\Delta ADN` và `\Delta MDC`:

`\text {DA = DM (CMT)}`

\(\widehat {ADN} = \widehat {MDC}\) `(\text {đối đỉnh})`

\(\widehat {BAD}= \widehat {BMD}\)`=90^0 (CMT)`

`=> \Delta ADN = \Delta MDC (cgv-gn)`

`-> \text {AN = MC (2 cạnh tương ứng)}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{BA = BM (gt)}\\\text{AN = MC (CMT)}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{BN = BA+AN}\\\text{BC = BM+MC}\end{matrix}\right.\)

`=> \text {BN = BC}`

Xét `\Delta BAM:`

`\text {BA = BM}`

`-> \Delta BAM` cân tại `B`

`->`\(\widehat {BAM}= \widehat {BMA}=\)\(\dfrac{180^0-\widehat{B}}{2}\) `(1)`

Xét `\Delta BNC`:

`\text {BN = BC (CMT)}`

`-> \Delta BNC` cân tại `B`

`->`\(\widehat {BNC} = \widehat {BCN}=\)\(\dfrac{180-\widehat{B}}{2}\) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`->`\(\widehat {BNC}= \widehat {BAM}\)

Mà `2` góc này nằm ở bị trí đồng vị

`-> \text {AM // NC (tính chất 2 đường thẳng //)}`

xét tam giác AMB và AMD , có:

AM:chung

DAM=MAB

AD=AB(gt)

=> tam giác AMB = AMD (C.G.C.)

=> MB=MD

a) Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta AMD\)có :

AM ( cạnh chung )

\(\widehat{BAM}=\widehat{DAM}\)( gt )

AB = AD ( gt )

Suy ra : \(\Delta AMB\)= \(\Delta AMD\)( c.g.c )

\(\Rightarrow BM=MD\); \(\widehat{ABM}=\widehat{ADM}\)

b)  vì \(\widehat{ABM}=\widehat{ADM}\)\(\Rightarrow\widehat{MBE}=\widehat{MDC}\)( cùng bù với hai góc bằng nhau )

Xét \(\Delta BME\)và \(\Delta DMC\)có :

\(\widehat{MBE}=\widehat{MDC}\)( cmt )

BM = DM ( cmt )

\(\widehat{BME}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )

Suy ra : \(\Delta BME\)= \(\Delta DMC\)( g.c.g )

\(\Rightarrow\)ME = MC

\(\Rightarrow\)\(\Delta MEC\)cân tại M

c) Ta có : \(\widehat{EBC}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\)nên \(\widehat{EBC}>\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{MDC}>\widehat{ACB}\)\(\Rightarrow\)MD < MC 

Suy ra : MB < MC

a)MH là đường trung trực đoạn AC cũng là đường trung trực tam giác MAC hạ từ đỉnh M
Suy ra tam giác MAC cân tại M 
Suy ra góc MAC = 180⁰ - 2* góc ACB = góc BAC (đpcm)

b)Tam giác MAC cân tại M  suy ra góc MAC = góc MCA= góc ABC
lại có góc MAC + góc CAN= góc ABC+ góc ABM (cùng bằng 180⁰)
suy ra góc ABM= góc CAN

Xét tam giác AMB và tam giác CNA có 
AC=AB (tam giác ABC cân tại A)
MB=AN (gt)
góc ABM= góc CAN(cmt)
Suy ra \(\Delta AMB~\Delta CNA\)(c.g.c)
suy ra góc CMA= góc CNA
suy ra tam giác MCN cân tại C
suy ra MC=CN (đpcm)
c) Có \(CM\perp CN\) và tam giác MCN cân tại C
Suy ra tam giác MCN vuông cân tại C
suy ra góc CNM= góc CMN = 45⁰
mà góc NMA= góc CAB (cmt)
suy ra góc BAC = 45⁰
Vậy để \(CM\perp CN\)    thì tam giác ABC cân có góc A = 45⁰