Theo mình thì mình nghĩ nó là chứng minh ENFQ là hình bình hành. Nếu sai thì rất xin lỗi bạn.

Giải

Ta có: \(\hept{\begin{cases}EN=\frac{1}{2}MN\\QF=\frac{1}{2}QP\end{cases}}\)(vì E là trung điểm MN và F là trung điểm QP)

Mà \(MN=QP\)(vì MNPQ là hình bình hành)

Nên \(EN=QF\left(1\right)\)

Lại có: \(MN//PQ\)(vì MNPQ là hình bình hành)

Do đó \(EN//QF\left(2\right)\)

Hình vẽ đây nha

Xét ΔMQN có 

E là trung điểm của MN

H là trung điểm của MQ

Do đó: EH là đường trung bình của ΔMQN

Suy ra: EH//NQ và \(EH=\dfrac{NQ}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔQPN có 

F là trung điểm của NP

G là trung điểm của GP

Do đó: FG là đường trung bình của ΔQPN

Suy ra: FG//NQ và \(FG=\dfrac{NQ}{2}\left(2\right)\)

Từ (1)và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EHGF là hình bình hành

Trên FN và IP lấy điểm O sao cho OA=OF và OI=OP

xét tứ giác IAPF có OA=OF và OI=OP ( cách dựng)

->  IAPF là hình bình hành -> O là trung điểm IP

Xét T/g MIQ và PQN bằng nhau góc cạnh góc

-> PO=MI ( 2 cạnh t/u) MÀ  OI=OP ->PO=OI=MI-> MI=1/3MP

có MN=2MQ -> MQ=6

ÁP dụng Pytago vào T/G PMQ  vuông Tại M

->  MP=12^2-6^2=\(\sqrt{108}\)

MI=1/3 MP -> MI=\(\sqrt{108}:3\)=3.4

->  Diện tích tam giác QMI là (3.4x6):2=10.2

Xét ΔMQN có 

E là trung điểm của MN

H là trung điểm của MQ

Do đó: EH là đường trung bình của ΔMQN

Suy ra: EH//NQ và \(EH=\frac{NQ}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔQPN có 

F là trung điểm của NP

G là trung điểm của GP

Do đó: FG là đường trung bình của ΔQPN

Suy ra: FG//NQ và\(FG=\frac{NQ}{2}\left(2\right)\)

Từ (1)và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EHGF là hình bình hành

Giải

Nối M với P và nối N với Q

Xét tam giác QMP có: \(\left \{ {{\text{H là trung điểm QM (gt)}} \atop {\text{G là trung điểm QP (gt)}}} \right.\)

Do đó HG là đường trung bình của tam giác QMP

\(\Rightarrow HG//MP\left(1\right)\)

Xét tam giác MNP có: \(\left \{ {{\text{E là trung điểm MN (gt)}} \atop {\text{F là trung điểm NP (gt)}}} \right.\)

Do đó EF là đường trung bình của tam giác MNP

\(\Rightarrow EF//MP\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow HG//EF\left(3\right)\)

Xét tam giác MNQ có: \(\left \{ {{\text{H là trung điểm QM (gt)}} \atop {\text{E là trung điểm MN (gt)}}} \right.\)

Do đó HE là đường trung bình của tam giác MNQ

\(\Rightarrow HE//NQ\left(4\right)\)

Xét tam giác NQP có: \(\left \{ {{\text{G là trung điểm QP (gt)}} \atop {\text{F là trung điểm NP (gt)}}} \right.\)

Do đó GF là đường trung bình của tam giác NQP

\(\Rightarrow GF//QN\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow HE//GF\left(6\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(6\right)\Rightarrow\)Tứ giác EFGH là hình bình hành

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành

Chọn C

từ E kẻ đường thẳng // vói QP cắt MQ tại F.
ta có:  
mà  cân tại F
 MF = FQ (cách vẽ) mà trong tam giác đừơng trung tuyến ứng với cạnh đối mà = 1/2 cạnh đối thì đó là tam giác đó là tam giác vông  

EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành. 
=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm I. 
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm I 
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành 

EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành. 

=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm O. 
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm O 
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành