AK//ME

=>AKME là hình thang

a. Ta thấy \(\widehat{KEA}=\widehat{BED}\) (Đối đỉnh) ; mà \(\widehat{BED}=\widehat{BAM}\) (đồng vị) nên \(\widehat{KEA}=\widehat{BAM}\)

Xét tam giác AKE và tam giác BMA có:

\(\widehat{KEA}=\widehat{BAM}\) (cmt)

\(\widehat{KAE}=\widehat{MBA}\) (so le trong)

Vậy nên \(\Delta AKE\sim\Delta BMA\left(g-g\right)\)

b. Vì KD // AM; AK //MD nên AKDM là hình bình hành. Vậy thì AM = KD.

Do \(\Delta AKE\sim\Delta BMA\left(cma\right)\Rightarrow\frac{KE}{AM}=\frac{AE}{AB}\)

Do ED //AM nên \(\frac{AE}{AB}=\frac{MD}{MB}=\frac{DM}{MC}\)

Do AM//FD nên \(\frac{DM}{MC}=\frac{FA}{AC}\)

Do AK // DC nên \(\frac{FA}{AC}=\frac{KF}{KD}=\frac{KF}{AM}\) . Vậy nên \(\frac{KE}{AM}=\frac{KF}{AM}\Rightarrow KE=KF\) hay K là trung điểm EF.

c. Do AK //BM nên \(\frac{ON}{OD}=\frac{AN}{BD}=\frac{2}{3}\)

Do NA = NK; AK = DM; BD = BM - DM nên ta có: 

\(\frac{DM:2}{BM-DM}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow3DM=4BM-4DM\Leftrightarrow7DM=4BM\)

hay \(\frac{DM}{BM}=\frac{4}{7}.\)