Những câu hỏi liên quan
huyền
Xem chi tiết
Lê Trần Khánh Duy
Xem chi tiết
Xyz OLM
25 tháng 6 2021 lúc 15:42

Ta có a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2

<=> ab + bc + ca = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ac-ab\\ca=-ab-bc\end{cases}}\)

Khi đó a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc - ac - ab = (a - b)(a - c) 

Tương tư b2 + 2ac = (b - a)(b - c) 

c2 + ab = (c - a)(c - b) 

Khi đó \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{-a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-b^2\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)(đpcm) 

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyen Duy Dai
Xem chi tiết
Ngô Cao Hoàng
Xem chi tiết
Thu Thao
7 tháng 2 2021 lúc 20:32

undefined

Bình luận (0)
vo danh
Xem chi tiết
Nguyễn Đình Đoàn
Xem chi tiết
Mai Anh Nguyen
Xem chi tiết
Trang Lê
Xem chi tiết
ღ๖ۣۜLinh
9 tháng 3 2020 lúc 15:18

a2+b2+c2=(a+b+c)2<=> ab+bc+ca=0

\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

M  tương tự

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Cầm Dương
Xem chi tiết
Trà My
7 tháng 4 2017 lúc 21:01

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=1

Bình luận (0)
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
16 tháng 10 2020 lúc 6:43

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c 

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa