Gọi tia AI cắt cạnh BC tại M. Đặt \(S_{AMB}=S_C;S_{BMC}=S_A;S_{CMA}=S_B\)

\(\overrightarrow{IA}=-\frac{IA}{IM}.\overrightarrow{IM}=-\frac{IA}{IM}\left(\frac{BM}{a}.\overrightarrow{IC}+\frac{CM}{a}.\overrightarrow{IB}\right)\)

\(=-\frac{S_B+S_C}{S_A}\left(\frac{S_C}{S_B+S_C}.\overrightarrow{IC}+\frac{S_B}{S_B+S_C}.\overrightarrow{IB}\right)\)

\(=-\left(\frac{S_C}{S_A}.\overrightarrow{IC}+\frac{S_B}{S_A}.\overrightarrow{IB}\right)=-\left(\frac{c}{a}.\overrightarrow{IC}+\frac{b}{a}.\overrightarrow{IB}\right)\)

\(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}=-\left(b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}\right)\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)(đpcm).

a . Gọi AH ∩ BC=D,BH ∩ AC=E,CH ∩ AB=F

\(\Rightarrow AD\perp BC,BE\perp AC,CF\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^0\) => ◊AFDC nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{DCF}=\widehat{DAF}\)

VÌ H đối xứng H' qua BC 

\(\Rightarrow HH'\perp BC\Rightarrow A,H,,D,H'\)thẳng hàng 

\(\Rightarrow\widehat{BAH'}=\widehat{DAF}=\widehat{FDC}=\widehat{HCB}\)

Lại có: H đối xứng với H' qua BC

\(\Rightarrow\widehat{BCH'}=\widehat{HCB}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCH'}=\widehat{BAH'}\Rightarrow\)◊ ABH'C nội tiếp 

b . Lấy A' đối xứng với A qua BC 
 

\(\Rightarrow BC\perp AA'\Rightarrow A,H,D,H',A'\) thẳng hàng 

Vì \(H,H'\) đối xứng qua BC , A,A' đối xứng qua BC 

\(\Rightarrow\widehat{BHC}=\widehat{BH'C},\widehat{BAC}=\widehat{BA'C}\)

Lại có ◊ ABH'C nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{BH'C}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BA'C}+\widehat{BHC}=180^0\)

=> ◊ BHCA' nội tiếp 

=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BHC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp  \(\Delta A'BC\)

Ta có : A , A' đối cứng qua BC

 \(\Rightarrow A'B=AB,CA=CA'\Rightarrow\Delta ABC=\Delta A'BC\left(c.c.c\right)\)

=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A'BC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp  ΔABC

=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BHC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

opps hihi xin lỗi lúc nảy em làm vội nên sai,thế này mới chính là câu trả lời của em

Lời giải. Kẻ OA₁⊥BC,OB₁⊥AC,OC₁⊥AB. Khi đó tứ giác OA₁C₁B,OA₁B₁C,OC₁AB₁ nội tiếp nên theo định lý Ploteme ta có

     ⎨aR=bz+cy

        az=cx+bR⇒R(a+b+c)=b(z−x)+c(y−x)+a(y+z)(1)

        ay=bx+cR

Ta lại có 2SABC=r(a+b+c)=cz+by−ax (2)

Cộng (1)với (2) ta thu được R+r=y+z−x. ■

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

Mà BI,CI là tia phân giác góc \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=60^o\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=60^o\Rightarrow sđ\widebat{BC}=120^o\)

Mà \(\widehat{BOC}=sđ\widebat{BC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o\)

Suy ra tứ giác BIOC nội tiếp hay B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn