Chứng minh:
a. Nếu \(a > 5\) thì \(\frac{{a - 1}}{2} - 2 > 0\).
b. Nếu \(b > 7\) thì \(4 - \frac{{b + 3}}{5} < 2\).
Chứng minh nếu a+b+c=0 thì:
\(\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\times\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Ta có: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(b^2+c^2\right)+b^3\left(a^2+c^2\right)+c^3\left(a^2+b^2\right)}{6}\)
\(=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(\left(b+c\right)^2-2bc\right)+b^3\left(\left(c+a\right)^2-2ca\right)+c^3\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)}{6}\)
\(=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(a^2-2bc\right)+b^3\left(b^2-2ca\right)+c^3\left(c^2-2ab\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)-abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
Ma ta lại có:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{18}=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)}{5}\) (ĐPCM)
Chứng minh nếu a, b, c# 0 thỏa mãn \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}thì\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
Chứng minh rằng : nếu a , b , c khác 0 thỏa mãn :
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}\) thì \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau; ta được:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)
Tương tự; ta được: \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{bc+ba+ca+bc-\left(ab+ac\right)}{3+4-2}=\frac{2bc}{5}\)
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac-\left(bc+ba\right)+ca+cb}{2-3+4}=\frac{2ac}{3}\)
Từ các điều trên; ta được:
\(\frac{2ac}{3}=\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{10ac}{15}=\frac{30ab}{15}=\frac{6bc}{15}\)
\(\Rightarrow10ac=30ab=6bc\)
\(\Rightarrow10ac=30ab\Rightarrow b=\frac{c}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(1\right)\)
\(30ab=6bc\Rightarrow5a=c\Rightarrow a=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(ĐPCM\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)
Chứng minh nếu a+b =1 (a, b # 0) thì
\(\frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{2\left(a-b\right)}{a^2b^2+3}\)
CHO BIỂU THỨC:
M = \(\left[\frac{3\left(a+2\right)}{a^3+a^2+a+1}+\frac{2a^2-a-10}{a^3-a^2+a-1}\right]:\left[\frac{5}{a^2+1}+\frac{3}{2a+2}-\frac{3}{2a-2}\right]\)
a) rút gọn M
b) nếu a = 2 thì M = ?
c) nếu M = 0 thì a = ?
tính giá trị biểu thức (tính nhanh nếu có thể)
a,\(\left(\frac{7}{4}.\frac{-4}{5}+\frac{7}{2}.\frac{-1}{5}\right).50\%-0,1\)
b,\(\left(2\frac{1}{3}+3\frac{1}{2}\right).0,2+25\%\)
Muốn tick thì nhanh lên
chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=0\)
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm
d) 0 là số hữu tỉ dương
Bài 2: Cho 2 số hữu tỉ a/b và c/d với b,d>0
Chứng minh: Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vận dụng: Viết 2 số xen giữa 2 số hữu tỉ -1/5 và 1/5
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0 Đ
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên S
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm S
d) 0 là số hữu tỉ dương S
a/b < c/d => ad < cb
=> ad + ab < bc + ab
=> a ( d+b) < b ( a +c)
=> a/b < a+ c/d +b (1)
* a/b < c/d => ad < cb
=> ad + cd < cb + cd
=> d ( a +c) < c ( b+d)
=> c/d > a + c/b + d (2)
Từ (1) và (2) => a/b < a+c/b + d < c/d
Câu 1:
a, Tính: \(\frac{2^{12}.3^5-4^6.9^2}{\left(2^2.3\right)^6+8^4.3^5}-\frac{5^{10}.7^3-25^5.49^2}{\left(125.7\right)^3+5^9.14^3}\)
b, Chứng minh rằng nếu : \(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}\)
thì \(\frac{a}{x+2y+z}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{c}{4x-4y+c}\)
c, Tìm các số nguyên x thỏa mãn:
\(2013=|x-4|+|x-10|+|x+101|+|x+999|+|x+1000|\)
d, Cho p>3. Chứng minh nếu các số p, p+d, p+2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6.
tính giá trị biểu thức(tính nhanh nếu có thể)
a,\(\frac{6}{7}+\frac{5}{8}:5-\frac{3}{16}.\left(-2\right)^2\)
b,\(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}.\left(\frac{-4}{9}+\frac{5}{6}\right):\frac{7}{12}\)
Nhanh thì tick