CMR: \(5.7^{2\left(n+1\right)}+2^{3n}⋮41\) (*)

Với \(n=1\) ta có \(5.7^4+2^3=12013⋮41\)

=> (*) đúng với n = 1

Gỉa sử (*) đúng với n = k tức là: \(5.7^{2\left(k+1\right)}+2^{3k}⋮41\)

hay \(5.7^{2\left(k+1\right)}+2^{3k}=41m\)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1

tức là \(5.7^{2\left(k+2\right)}+2^{3\left(k+1\right)}⋮41\)

Thật vậy \(5.7^{2\left(k+2\right)}+2^{3\left(k+1\right)}=5.7^{2\left(k+1\right)}.7^2+2^{3k}.2^3\)

\(=7\left(5.7^{2k+1}+2^{3k}\right)-\left(7^2-2^3\right).2^{3k}\)

\(=7.41m-41.2^{3k}=41\left(7m-2^{3k}\right)⋮41\)\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có: \(\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3}\)

\(\dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4}\)

................

\(\dfrac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \dfrac{1}{2n\left(2n+1\right)}\)

⇒\(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+......+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)< \(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+.....+\dfrac{1}{2n.\left(2n+1\right)}\)

= \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+.....+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\)

= \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n+1}\)

= \(\dfrac{2n+1-2}{2n+1}\)

= \(\dfrac{2n-1}{2n+1}\)= \(1-\dfrac{2}{2n+1}\)

Ta có: n ≥ 1⇒ 2n+1 ≥ 3

⇒ \(1-\dfrac{2}{2n+1}\) ≤ \(\dfrac{1}{3}\)

hình như đề sai thì phải

C/M chia hết cho 3 và 8

\(\left(n^2+3n+1\right)-1=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Bn chứng minh biểu thức trên chia hết cho 3 và 2 nhé!

Sau đó lí luận là (3,2) = 1 và 3.2³=24 nên biểu thức chia hết cho 24  

P/s:  ( Nếu có sai sót mong thông cảm =))

với \(n=0\) ta thấy nó thỏa mãn điều kiện bài toán

giả sử \(n=k\) thì ta có : \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59\)

khi đó nếu \(n=k+1\) thì ta có :

\(=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}\)

\(=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

khó thế

Đặt \(A=n(n+1)(2n+1)\)

Nếu $n$ chẵn thì $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, do đó $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Vậy $A$ luôn chia hết cho $2$ $(I)$

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Vậy $A$ luôn chia hết cho $3$ $(II)$

Từ $(I),(II)$ kết hợp với $(2,3)=1$ suy ra \(A\vdots (2.3=6)\) (đpcm)

Nguyễn Huy TúAkai Haruma

6 nha