Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O có D là trung điểm BC

\(\Rightarrow OD\bot BC\)

Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE\bot AC\\OF\bot AB\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\angle ODB+\angle OFB=90+90=180\Rightarrow OFBD\) nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow OECD,OEAF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\left(AFE\right),\left(BFD\right),\left(CDE\right)\) cùng đi qua điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Xét \(\Delta ABC\) có E,F lần lượt là trung điểm AC,AB

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình \(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}BC\)

Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DF=\dfrac{1}{2}AC\\DE=\dfrac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta FBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AF=BF\\AE=FD=\dfrac{1}{2}AC\\FE=BD=\dfrac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFE=\Delta FBD\left(c-c-c\right)\Rightarrow\left(AFE\right)=\left(FBD\right)\) 

Tương tự \(\Rightarrow\left(CDE\right)=\left(AFE\right)\Rightarrow\left(AFE\right)=\left(FBD\right)=\left(CDE\right)\)

các đường trong là sao bạn

à là đường tròn, mình nhầm

a, Chứng minh IFEK là hình bình hành có tâm O. Chứng minh IK ⊥ KE => IFEKlà hình chữ nhật => I,F,E,K cùng thuộc (O;OI)

b, Ta có:  I D E ^   =   90 0 => Tam giác IDE vuông tại D 

Chứng minh rằng KD ⊥ DF => ∆ KDF vuông

Dễ thấy P là điểm chính giữa \widebatEF\widebatEF nên D,N,P thẳng hàng

Cần chứng minh ˆIMC=ˆPDCIMC^=PDC^

Ta có : ˆIMC=ˆMIB+ˆB1=12ˆBIC+ˆB1=12(180o−ˆB1−ˆC1)+ˆB1IMC^=MIB^+B1^=12BIC^+B1^=12(180o−B1^−C1^)+B1^

=12(180o−ˆABC2−ˆACB

a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AE là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)

nên AE là đường cao ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

Xét tứ giác ABED có 

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}\left(=90^0\right)\)

nên ABED là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,B,E,D cùng thuộc (O)

b) Xét tứ giác HDCE có 

\(\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=180^0\)

nên HDCE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác HDCE là trung điểm của HC