Tồn tại hay không 4 điểm A, B, C, D trên mặt phẳng của các tam giác ABC, BCD, DAB và CDA đều nhọn? Tại sao?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(0;0;0). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt phẳng (ABC), (CDA), (BCD), (DAB).
A. 4
B. 5
C. 1
D. 8
Chọn D
Gọi điểm cần tìm là M (x0; y0; z0)
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x = 0
Phương trình mặt phẳng (CDA) là: y = 0
Phương trình mặt phẳng (DAB) là: z= 0.
Ta có M cách đều 4 mặt phẳng (ABC), (CDA), (BCD), (DAB) nên:
Ta có các trường hợp sau:
Vậy có 8 điểm M thỏa mãn bài toán.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(0;0;0). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt phẳng (ABC); (BCD); (CDA); (DAB) .
A. 4
B. 2
C. 1
D. 8
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A=20 độ. Vẽ điểm D trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho tam giác BCD cân tại C và góc BCD= 140 đô. Tính số đo góc ADC
Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(0;0;0). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng (ABC), (BCD),(CDA), (DAB)?
A. 4
B. 5
C. 1
D. 8
Đáp án D
Gọi I(a;b;c) là điểm cách đều bốn mặt phẳng (ABC), (BCD),(CDA), (DAB)
Khi đó, ta có
Suy ra có 8 cặp (a;b;c) thỏa mãn (*).
Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).
Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4 đỉnh của một hình vuông thì không cân bằng. Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập không tâm nếu không tồn tại 4 điểm A, B, C, D thuộc S sao cho DA = DB = DC. Nói cách khác, nếu 3 điểm A, B, C thuộc S thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC không thuộc S.
Đề toán yêu cầu:
a) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3, tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm trên mặt phẳng.
b) Tìm tất cả các giá trị n ≥ 3 sao cho tồn tại tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, cân bằng và không tâm.
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên nửa bờ mặt phẳng AB không chứa điểm C đựng tam giác DAB vuông cân tại D. Trên nửa bờ mặt phẳng AC không chứa điểm B đựng tam giác EAC vuông cân tại E, lấy M là trung điểm của cạnh BC. DM cắt AB tại F, ME cắt AC tại K. Chứng minh rằng DM vuông góc AB; EM vuông góc AC.
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC.
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).
b) Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
a) E ∈ AB mà AB ⊂ (ABC)
⇒ E ∈ (ABC)
F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC)
⇒ F ∈ (ABC)
Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp(ABC) nên theo tính chất 3 thì EF ⊂ (ABC).
b) I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD) (1)
I ∈ EF mà EF ⊂ (DEF) nên I ∈ (DEF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 55 độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.
1. Tính số đo góc ACB
2. Chứng minh tam giác ABC = tam giác CDA và AD//BC
3. Kẻ AH vuông góc BC tại H, CK vuông góc AD tại K. Chứng minh BH = DK
4. Gọi I là trung điểm của AC. Chứng mình ba điểm H, I, K thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, lấy D sao cho AC song song BC và AD=BC. Gọi O là giao của AC và BD
Chứng minh:
a) tam giác ABC= tam giác CDA
b) tam giác ABD= tam giác CDB
c) tam giác OBC= tam giác ODA
P/S 3 chữ hoa liên tiếp là góc :D
a,Ta có :\(AD//BC=>DAC=BCA\)
Xét Tam giác ABC và tam giác CDA
\(BC=DA\)(gt)
\(BCA=DAC\)(cmt)
\(CA\)cạnh chung
\(=>\Delta ABC=\Delta CDA\left(c-g-c\right)\)
b,Ta có : \(AD//BC=>ADB=CBD\)
Xét tam giác ABD và tam giác CDB
\(BC=AD\)(gt)
\(ADB=CBD\)(cmt)
\(BD\)cạnh chung
\(=>\Delta ABD=\Delta CDB\left(c-g-c\right)\)
c,Xét tam giác ODA và tam giác OBC
\(DBC=BDA\)(cm câu b)
\(AD=BC\)(gt)
\(DAC=ACB\)(cm câu a)
\(=>\Delta ODA=\Delta OBC\left(g-c-g\right)\)