Xét ΔAHM có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHM cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của góc HAM(1)

Xét ΔAHN có

AF là đường cao

AF là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHN cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là tia phân giác của góc HAN(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{NAH}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

hay M,A,N thẳng hàng

Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

\(\widehat{BAH}=\widehat{MAH}\)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AMB}=90^0\)

hay BM\(\perp\)MA

hay BM\(\perp\)MN(3)

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

\(\widehat{HAC}=\widehat{NAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔANC

Suy ra: \(\widehat{AHC}=\widehat{ANC}=90^0\)

hay CN\(\perp\)NA

=>CN\(\perp\)NM(4)

Từ(3) và (4) suy ra MB//NC

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\Delta AHB=\Delta AHC\left(g-c-g\right)\Rightarrow HE=HF;AE=AF\)

a.Xét tam giác AEH và tam giác AFH có \(\hept{\begin{cases}HE=HF;AE=AF\left(cmt\right)\\\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta AEH=\Delta AFH}\left(c-g-c\right)\)

b. Có \(AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\)cân tại A 

Mà \(EF\)song song với BC \(\Rightarrow AH⊥EF\)

Ta có tam giác AEF cân tại A nên có AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực 

c. Ta có \(HE=HF\)mà \(\hept{\begin{cases}EH=EM\\FH=FN\end{cases}}\)\(\Rightarrow EM=FN\)

Xét tam giác AEM và tam giác AFN có \(\hept{\begin{cases}AE=AF\\\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\\EM=FN\end{cases}}\Rightarrow\Delta AEM=\Delta AFN\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A

Cậu tự vẽ hình nhé

a, kẻ MK vuông BC, NG vuông BC

Tam g ABC cân => g ABC= g ACB 

Lại có g ACB = g GCN (dd)

=> g GCN = g ABC=g MBK

Xét tg MBK và tg NCG 

g MKB= g NGC =90° 

g MBK = g NCG (cmt)

MB= CN(gt)

=> tg MBK= tg NCG ( ch-gn)

=> MK=NG (2 cạnh tương ứng)

Vì MK vuông BC, NG vuông BC => NG// MK 

=> g GNM = g KMN ( so le trong )

Xét tg MKD VÀ TG NGD

g MKD = g DGN = 90°

g KMD = gDNG ( cmt)

Mk= GN (cmt)

=> tg MKD = tg NGD (_cgv-gn)

=> MD= ND (2 ctu)

=> D là td MN ( dpcm)

Xét tam giác cân ABC , AH là đường cao => AH là trung trực 

Lại có E thuộc AH => EC= EB 

Xét tg ABE và tg ACE

AB=AC (tg ABC cân)

BE= EC (cmt)

AE cạnh chung 

=> tg ABE = tg ACE (ccc)

=> g ABE = g ACE ( 2 góc tương ứng)(1)

Lại có DE là trung trực MN => ME = NE

Xét tg MBE và tg NCE

MB = NC ( gt)

ME = NE (cmt)

BE = CE (cmt)

=> tg MBE = tg NCE (ccc)

=> g ECN = g EBM (2 góc t u ) (2)

Từ 1), 2) => g ECA = g ECN 

Lại có 2 góc này bù nhau

=>g ACE= 90°= g ABE

Xét tg ABE vuông

+ theo đl pytago:

=> AE = √( ab²+bE²)= √( 6²+4,5²)= 7,5 (cmcm)

+ BH là đcao, theo hệ thức lượng trong tg vuông

=>+ AB²= AH.AE => AH= 6²:7,5=4,8 (cmcm)

+ 1/(BH²)= 1/(AB²)+1/(BE²) => BH = √(1:( (1/6²)+(1/4,5²))= 3,6(ccmcm)

=> BC= 3,6.2= 7,2 (cm)

=> dt tg ABC có đcao AH là 7,2.4,8.1/2= 28,08(cm²)

Vậy S tg ABC = 28,08 cm²