Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Leftrightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)

Ta có \(b+c=\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\) (vì a+b+c=0)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(b+c\right)+a\right]^2\ge4\left(b+c\right).a\)

Do đó \(\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(b+c\right)^2.a\ge4.4bc.a=16abc\)vì (b+c)^2>=4bc

dấu = xảy ra thì tự tìm nha bạn

1 )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\a+c\ge2\sqrt{ac}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=16abc\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc\)( đpcm )

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)  ta có ngay \(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right)c\). Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức trên một lần nữa ta được

\(a+b=\left(a+b\right)\cdot1\ge\left(a+b\right)\cdot4\left(a+b\right)c=4\left(a+b\right)^2c\ge16abc.\)  (ĐPCM)

Câu hỏi của Đỗ Minh Quang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em xem cách làm ở link này nhé!

Áp dụng bất đẳng thức coosi ta được:

\(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b+c\) và \(b=c\) và \(a+b+c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2};b=c=\frac{1}{4}\)

Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1)
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy )
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm)
bạn tự tìm dấu '=' nha