\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\).

Tương tự ta có: \(\frac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\), \(\frac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\).

Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\).

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)

\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng mình 

Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *

Khi đó:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Trời ạ cay vãi shit đánh máy xong rồi tự nhiên bấm hủy T.T bài 1 ngắn đã đành ......

\(WLOG:a\ge b\ge c\)

Ta dễ có:\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\)

\(\le\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c+1}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(b+c+1\right)\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le1-a\) ( 1 )

Mà theo AM - GM :

\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le\left(\frac{1-b+1-c+1+b+c}{3}\right)^3=1\)

Khi đó ( 1 ) đúng

Vậy ta có đpcm

Nếu bài toán trở thành

\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\) thì bài toán khó định hướng hơn rất nhiều :D

Ta có: \(\frac{1}{a+1}\ge2-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}=\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự \(\frac{1}{b+1}\ge\frac{c}{c+1}+\frac{a}{a+1}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)

               \(\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân từng vế, ta có: 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

bé hơn hoặc bằng 1 hay là 2 vậy bạn

\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=3-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}\le1\)

\(\Rightarrow T\frac{1}{1+a}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

T là pháp cộng với b,c luôn nha, lười ghi.

Tương tự ta có:\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\) và với c nữa

Nhân vế theo vế ta có đpcm

Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án

Theo BĐT AM-GM :

\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

+ Tương tự ta cm đc :

\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi

Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c

=>(a+b)²=(-c)²

=>a²+2ab+b²=c²

=>a²+b²-c²=-2ab

Tương tự ta có: b²+c²-a²=-2bc ; c²+a²-b²=-2ca

=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)

Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)

Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo từng vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ( đpcm )

Với a , b , c > 0

Ta có: \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có được:

\(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)

và \(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( ĐPCM)