Cho mình lời giải đầy đủ nhé! * xin lỗi mấy bạn do lỗi phông*

Đặt \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2013^2}\)

\(A=\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{6\cdot6}+\frac{1}{7\cdot7}+...+\frac{1}{2013\cdot2013}\)

Ta có : \(\frac{1}{5\cdot5}< \frac{1}{4\cdot5}\)

\(\frac{1}{6\cdot6}< \frac{1}{5\cdot6}\)

\(\frac{1}{7\cdot7}< \frac{1}{6\cdot7}\)

...

\(\frac{1}{2013\cdot2013}< \frac{1}{2012\cdot2013}\)

=> \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+..+\frac{1}{2013^2}< \frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+...+\frac{1}{2012\cdot2013}\)

=> \(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{2013}\)

=> \(A< \frac{2009}{8052}\)

Lại có \(\frac{2009}{8052}< \frac{1}{4}\)

Theo tính chất bắc cầu => \(A< \frac{1}{4}\)( đpcm )

Sai thì mong bạn bỏ qua 

cầu xin các bạn mở lòng từ bi giúp tớ bài này nhé 

a) (-1) + 2 + (-3) + 4 + .... + (-2009) + 2010

= (-1 + 2) + (-3 + 4) + ..... + (-2009 + 2010)

= -1 + (-1) + (-1) + .... + (-1) 

= -1 . 1005 = -1005

b) 1 + (-2) + (-3) + 4 + 5 + (-6) + (-7) + 8 + ... + 2005 + (-2006) + (-2007) + 2008

= [1 + (-2) + (-3) + 4] + [5 + (-6) + (-7) + 8 ] + ..... + [2005 + (-2006) + (-2007) + 2008]

= 0 + 0 + ...... + 0 = 0

ghe

a) Ta có: \(\left(-1\right)+2+\left(-3\right)+4+...+\left(-2009\right)+2010\)

\(=1+1+...+1\)

=1005

b) Ta có: \(1+\left(-2\right)+\left(-3\right)+4+5+\left(-6\right)+\left(-7\right)+8+...+2005+\left(-2006\right)+\left(-2007\right)+2008\)

\(=\left(1-2-3+4\right)+\left(5-6-7+8\right)+...+\left(2005-2006-2007+2008\right)\)

=0

Đặt \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+....+\frac{1}{2007^2}\)\(A< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+....+\frac{1}{2006.2007}\)

\(=\frac{5-4}{4.5}+\frac{6-5}{6.5}+....+\frac{2007-2006}{2006.2007}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+.....+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{4}-\frac{1}{2007}< \frac{1}{4}\)

vậy đpcm