Hình vẽ:

Lời giải:

$(O), (O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ thì $O,A,O'$ thẳng hàng.

$OM\perp MN, O'N\perp MN$ (do $MN$ là ttc)

$\Rightarrow MNO'O$ là hình thang 

$\Rightarrow \widehat{NO'A}+\widehat{MOA}=180^0$ (2 góc trong cùng phía).

Lại có:

Theo tính chất tiếp tuyến, góc thì:

$\widehat{AMN}= \frac{1}{2}\widehat{MOA}$

$\widehat{ANM}=\frac{1}{2}\widehat{NO'A}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ANM}=\frac{1}{2}(\widehat{MOA}+\widehat{NO'A})$

$=\frac{1}{2}.180^0=90^0$

$\Rightarrow \widehat{MAN}=90^0$

b. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AT$ chung của $(O), (O')$

Theo tính chất 2 tt cắt nhau thì:

$AT=MT=TN$

$\Rightarrow MN=MT+TN= 2AT$

Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $TO, TO'$ lần lượt là phân giác $\widehat{MTA}, \widehat{NTA}$

Mà $\widehat{MTA}+\widehat{NTA}=180^0$ nên $TO\perp TO'$

Tam giác $TOO'$ vuông có đường cao $TA$, áp dụng HTL:

$TA^2=OA.O'A=9.4=36$

$\Rightarrow TA=6$

$MN=2TA=2.6=12$ (cm)

Lần sau bạn lưu ý không đăng 1 bài lặp lại nhiều lần gây loãng box toán. Đây được coi như một dạng spam và bài của bạn có thể bị xóa hết không thương tiếc

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC .

Tam giác ABC có đường trung tuyến \(AI=\frac{1}{2}BC\)nên là tam giác vuông

Vậy \(\widehat{BAC}=90^o\left(đpcm\right)\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên :

\(\widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}\right)\)

Vậy : \(\widehat{OIO'}=90^o\)

c) \(\Delta OIO'\) vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA² = AO.AO' = 9 . 4 = 36

=> IA = 6 ( cm )

Vậy BC = 2 . IA = 2 . 6 = 12 (cm)

Ta có :

MO là tia phân giác của góc (CMA) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

MO’ là tia phân giác của góc (DMA) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : MO ⊥ MO’ (tính chất hai góc kề bù)

Tam giác MOO’ vuông tại M có MA ⊥ OO’ (tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có :

M A 2 = OA.O’A = 4,5.2 = 9 ⇒ MA = 3 (cm)

Mà MA = 12 CD ⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6 (cm)

Tam giác O’IO vuông tại I có IA ⊥ OO’

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

I A 2  = OA.O’A = 5.3,2 = 16

Suy ra: IA = 4 (cm). Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm)