Lời giải:
Giả sử $\sqrt{7}\in\mathbb{Q}$. Đặt $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên, $b\neq 0$, $(a,b)=1$.

Ta có:

$7=\frac{a^2}{b^2}$

$\Rightarrow a^2=7b^2\vdots 7\Rightarow a\vdots 7\Rightarrow a^2\vdots 49$

$\Rightarrow 7b^2=a^2\vdots 49\Rightarrow b^2\vdots 7$

$\Rightarrow b\vdots 7$

Vậy $7=ƯC(a,b)$ (trái với điều kiện $(a,b)=1$)

Do đó điều giả sử là sai. Tức là $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

tích mik nha

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Gọi E,F lần lượt là trung điểm AHvà BH,CE cắt AF tại I. Chứng minh AF vuông góc với CE

Giả sử \(\sqrt{10}\)là số hữu tỉ  \(\Rightarrow\sqrt{10}=\frac{a}{b}\) ( vs \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản, \(a,b\in Z;b\ne0\))

Ta có \(\frac{a}{b}=\sqrt{10}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=10\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=10\Rightarrow a^2=10b^2\)

=> \(a^2\) là số chẵn ( vì 10 là số chẵn)

\(\Rightarrow a\) chẵn ( do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn)  (1)

\(\Rightarrow a=2k\left(k\in Z\right)\)

Thay a = 2k vào \(a^2=10b^2\) ta có

\(\left(2k\right)^2=10b^2\)

\(\Rightarrow4k^2=10b^2\)

\(\Rightarrow2k^2=5b^2\)

\(\Rightarrow5b^2\) là số chẵn

\(\Rightarrow b^2\) là số chẵn

\(\Rightarrow b\) chẵn ( do do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn )           (2)

Từ (1) và (2) => Phân số \(\frac{a}{b}\) chưa tối giản vs giả thiết đưa ra

Vậy \(\sqrt{10}\) là số vô tỉ

Có j sai sót mong bỏ qua

                  ~ HAPPY NEW YEAR ~

vì \(\sqrt{7}=2,645751311........\)

=> căn 7 là số vô tỉ