Cho tam giác MNP cân tại P. Tia phân giác của góc P cắt MN tạ I.Qua I vẽ IE vuông góc với PM tại Evà vẽ IF vuông góc với PN tại F.
a) Chứng minh: tam giác PIM= tam giác PIN
b) Chứng minh IE=IF
c) IE cắt PN tại H, IF cắt PM tại K.Chứng minh: tam giác PHK cân
d) Chứng minh: EF// HK
Cho \(\Delta MNP\) cân tại P. Tia phân giác của góc P cắt MN tại I. Qua I vẽ \(IE\perp PM\) tại E và \(IF\perp PN\) tại F.
a) Chứng minh: \(\Delta PIM=\Delta PIN\)
b) Chứng minh: IE = IF
c) IE cắt PN tại H, IF cắt PM tại K. Chứng minh: \(\Delta PHK\) cân
d) Chứng minh: EF // HK
a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :
\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )
\(PI:chung\)
=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)
*Cách khác :
Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :
\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)
\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)
=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)
b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :
\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)
\(PI:Chung\)
\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)
c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)
Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta PHK\) có :
\(PK=PH\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)
d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :
\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :
\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị
=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)
Cho ∆MPN cân tại P. Tia phân giác của góc P cắt MN tại I.
a) C/m ∆PIM = ∆ PIN
b) Qua I vẽ IE\(\perp\)PM tại E và vẽ IF \(\perp\)PN tại F. C/m IE=IF
C) IE cắt PN tại H, IF cắt PM tại K. C/m ∆PHK cân
d) C/m EF//HK
a) Xét ΔPIM và ΔPIN có
PM=PN(do ΔMPN cân tại B)
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)(do PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\))
PI là cạnh chung
Do đó: ΔPIM=ΔPIN(c-g-c)
b)Ta có: ΔPIM=ΔPIN(cmt)
⇒MI=IN(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔIEM vuông tại E và ΔIFN vuông tại F có
MI=IN(cmt)
\(\widehat{EMI}=\widehat{FNI}\)(hai góc ở đáy của ΔPMN cân tại P)
Do đó: ΔIEM=ΔIFN(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒IE=IF(hai cạnh tương ứng)
c) Xét ΔIEK vuông tại E và ΔIFH vuông tại F có
EI=IF(cmt)
\(\widehat{EIK}=\widehat{FIH}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIEK=ΔIFH(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒EK=FH(hai cạnh tương ứng)(1)
Ta có: EK=EM+MK(do E,M,K thẳng hàng)(2)
FH=FN+NH(do F,N,H thẳng hàng)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra EM+MK=FN+NH
mà EM=FN(ΔIEM=ΔIFN)
nên MK=NH
Ta có: PK=PM+MK(do P,M,K thẳng hàng)
PH=PN+NH(do P,N,H thẳng hàng)
mà PM=PN(do ΔPMN cân tại P)
và MK=NH(cmt)
nên PK=PH
Xét ΔPKH có PK=PH(cmt)
nên ΔPKH cân tại P(đ/n tam giác cân)
d) Xét ΔPEI vuông tại E và ΔPFI vuông tại F có
PI là cạnh chung
\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)(PI là tia phân giác của \(\widehat{EPF}\))
Do đó: ΔPEI=ΔPFI(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒PE=PF(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔPEF có PE=PF(cmt)
nên ΔPEF cân tại P(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{PEF}=\frac{180^0-\widehat{P}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔPEF cân tại P)(4)
Ta có: ΔPKH cân tại P(cmt)
⇒\(\widehat{PKH}=\frac{180^0-\widehat{P}}{2}\)(số đo một góc ở đáy của ΔPKH cân tại P)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\)
mà \(\widehat{PEF}\) và \(\widehat{PKH}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên EF//HK(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)
Cho \(\Delta\)MNP cân tại P. Tia phân giác của ∠P cắt MN tại I. Qua I vẽ IE⊥PN tại F
a) CM; tam giác PIM = tam giác PIN
b) CM; IE=IF
c) IE cắt PN tại H,IF cắt PM tại K . CM; tam giác PHK cân
Sửa đề: IE vuông góc với PM, IF vuông góc với PN
a: Xét ΔPIM và ΔPIN có
PI chung
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)
PM=PN
Do đó: ΔPIM=ΔPIN
b: Xét ΔPEI vuông tạiE và ΔPFI vuông tại F có
PI chung
\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)
Do đó: ΔPEI=ΔPFI
Suy ra: IE=IF
Cho tam giác MNP cân tại P. Tia phân giác của góc P cắt MN tại I. Qua I vẽ IE ⊥ PN tại F
a) CM : tam giác PIM = tam giác PIN
b) CM; IE=IF
c) IE cắt PN tại H,IF cắt PM tại K . CM : tam giác PHK cân
d ) CM : EF//HK
Bạn xem lại đề nhé! Hình như có gì đó sai sai....
a: Xét ΔPIM và ΔPIN có
PM=PN
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)
PI chung
Do đó:ΔPIM=ΔPIN
b: Xét ΔPEI vuông tại E và ΔPFI vuông tại F có
PI chung
\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\)
Do đó; ΔPEI=ΔPFI
Cho tam giác ABC cân tại A, AB > BC, H là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: ∆ A B H = ∆ A C H . Từ đó suy ra AH vuông góc với BC.
b) Tính độ dài AH nếu BC = 4 cm, AB = 6 cm.
c) Tia phân giác của góc B cắt AH tại I. Chứng minh tam giác BIC cân.
d) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt tia BI, CI lần lượt tại M, N. Chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
e) Kẻ IE vuông góc với AB tại E, IF vuông góc với AC tại F. Chứng minh IH = IE = IF
f) Chứng minh: IC vuông góc với MC.
Cho tam giác ABC, I là trung điểm BC. Qua I kẻ đường thẳng d1 cắt AC,AB tại M,N và đường thẳng d2 cắt CA,AB tại P,Q ;PN cắt BC tại E; QM cắt BC tại F .Chứng minh: IE=IF
Bài 1 : Cho tam giác ABCD cân tại B . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm cua BA , BC ; Đoạn thẳng AN và AC cắt nhau tại G
a) Chứng minh : MN là đường trung bình của tam giác ABC , G là điểm đặc biệt gì của tam giác ABC ? Vì sao?
b) Chứng minh : Tứ giác AMNC là hình thang cân
c) Cho BG cắt AC tại K . Tú giác AMNK là hình gì ? Vì sao ?
Bài 2 : Cho tam giác PMN vuông tại P , có PH là trung tuyến PM = 9cm ; PN = 12 cm
a) Tính độ dài MN và PH
b) Từ H vẽ các đường thẳng song song với PN và PM cắt PM tại E và PN cắt tại F . Tính đo dài EF
c) So sánh EF = FH
Cho tam giác ABC gọi I là trung điểm của BC qua I kẻ đường thẳng d1 cắt AC tại M và cắt AB tại N và đường thẳng d2 cắt AC tại P và cắt AB tại Q đường thẳng PN cắt BC tại E đường thẳng QN cắt BC tại F chứng minh rằng IE=IF
