a ) Xét góc DAC  và góc EAB có

góc ADC = 90 độ + góc ABC (gt) (1)

góc ABE = 90 độ +góc BAC   (2) 

từ (1) và (2)  =>   góc DAC = góc EAB

Xét tam giác DAC và  tam giác EAB có 

AD =AB ( vì tam giác ABD vuông cân )

góc DAC = góc BAE

AC =AE 

=> tam giác DAC = tam giác EAB ( cạnh - góc - cạnh )

=>  DC=EB ( cặp cạnh tương ứng )

+>  chứng minh BE vuông góc với CD 

Gọi O là giao điểm của DC và BE 

Vì góc O1 = O2 ( đối đỉnh )

góc C1 = E1  ( vì tam giác DAC = tam giác EAB ( cmt )

=> góc O = A1 = 90 độ

=>  CD vuông góc với BE ( điều phải chứng minh )

a) Xét tam giác DAC và tam giác BAE có:

AB = AD ( tam giác ABD vuông cân tại A )

AC = AE ( tam giác ACE vuông cân tại A )

\(\widehat{DAC}=\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow\Delta DAC=\Delta BAE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DE=BC\)( hai cạnh tương wungs bằng nhau )  ( 1 )

Ta có: M là trung điểm của BC ; N là trung điểm của BD và P là trung điểm của CE 

Suy ra PN là đường trung bình của tam giác BEC \(\Rightarrow PN=\frac{EB}{2}\left(2\right)\)và PN // EB

Suy ra PM là đường trung bình của tam giác BCD \(\Rightarrow PM=\frac{DC}{2}\left(3\right)\)và PM // DC

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) suy ra PN = PM ( 4 )

\(\widehat{M_1}\)là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác EMC nên \(\widehat{M_1}=\widehat{E_1}+\widehat{MCE}=\widehat{E_1}+\widehat{C_1}+\widehat{C_2}\)

Mà \(\widehat{C_2}=\widehat{E_2}\)( Vì tam giác DAC = tam giác BAE cmt )

\(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{E_1}+\widehat{C_1}+\widehat{E_2}=\widehat{AEC}+\widehat{C_1}=90^0\)( Tam giác AEC vuông cân tại A )

\(\Rightarrow CD\perp BE\left(đpcm\right)\)

b) Vì \(CD\perp BE\)( Đã chứng minh ở câu a )

Ta có \(BE//PN\Rightarrow PN\perp DC\)

Mà \(PM//DC\Rightarrow PN\perp PM\Rightarrow\widehat{MPN}=90^0\left(5\right)\)

Từ ( 4 ) và ( 5 ) suy ra MNP vuông cân tại P ( đpcm )

Có chỗ nào không hiểu thì hỏi b nhé

mik làm đc mỗi câu b)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống tia phân giác ^BAC. Tam giác ADE có AH vừa là phân giác vùa là đường cao nên cân

tại A. 

Qua B vẽ BF//CE (F thuộc DE) => tam giác BDF cân tại B => BD = BF (1) 

Mặt khác xét 2 tam giác BMF và CME có :

BM = CM; ^BMF = ^CME ( đối đỉnh); ^MBF = ^MCE ( so le trong)

=> tam giác BMF = tg

CME => BF = CE (2) 
Từ (1) và (2) => đpcm

                                                         *Hình của mình có thể không đẹp lắm! Thông cảm ^_^ *

a, +,Xét 2 tam giác vuông AEC và ADB ta có

          A: góc chung

          góc AEC= góc ADB (=90 độ)

=> Tam giác AEC= tam giác ADB

=> AD=AE

b,+,Vì tam giác AEC= tam giác ADB nên: góc ABD= góc ACE.

+,Ta có: ABC= ABD+DBC

           ACB= ACE+ECB

           mà ABC= ACB, ABD=ACE nên DBC= ECB.

+,Vì  góc DBC= góc ECB nên tam giác BIC cân tại I --> BI=CI.

+,Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

          AB=AC

          góc ABI= góc ACI

          BI=CI

=> tam giác ABI= tam giác ACI 

=> góc BAI= góc CAI

=> AI là phân giác của BAC. (1)

c, +,Ta có: góc AED= 180 độ- góc A/ 2

              góc ABC= 180 độ- góc A/ 2

             => AED=ABC (vị trí đồng vị)

             => DE//BC.

d, +,Ta có tam giác ABC cân mà M là trung điểm BC nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác (2)

+,Từ (1) và (2) suy ra: A,I,M thẳng hàng.

 *Mình không biết là đúng hay không, có gì bạn bảo mình nha!*

 *Phần e mình không biết làm, thông cảm xíu ^_^ *

a: Xét ΔADE có

AG vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔADE cân tại A

=>AD=AE

b: góc BFD=góc DEA

góc BDF=góc BEA

Do đo: góc BFD=góc BDF

=>ΔBFD cân tại B

c: Xét ΔBMF và ΔCME có

góc BMF=góc CME
MB=MC

góc MBF=góc MCE
Do đó: ΔBMF=ΔCME

=>BF=CE=BD