Ta có: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{5}\)

nên \(\dfrac{2x-2}{4}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{5}\)

mà 2x+y-z=0

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{2x-2}{4}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{5}=\dfrac{2x+y-z-2+1+3}{4+3-5}=\dfrac{2}{2}=1\)

Do đó: x=3; y=2; z=8

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\text{VT}(1^2+1^2+1^2)\geq (1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y})^2$

$\Leftrightarrow 3\text{VT}\geq (3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})^2$

$ = \left[3+\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zy+zx}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}\right]^2=\frac{81}{4}$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{27}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

VT(12+12+12)≥(1+��+�+1+��+�+1+��+�)2VT(12+12+12)≥(1+y+zx​+1+x+zy​+1+x+yz​)2

⇔3VT≥(3+��+�+��+�+��+�)2⇔3VT≥(3+y+zx​+x+zy​+x+yz​)2

=[3+�2��+��+�2��+��+�2��+��]2=[3+xy+xzx2​+yz+yxy2​+zy+zxz2​]2

≥[3+(�+�+�)22(��+��+��)]2≥[3+2(xy+yz+xz)(x+y+z)2​]2

≥[3+3(��+��+��)2(��+��+��)]2=814≥[3+2(xy+yz+xz)3(xy+yz+xz)​]2=481​

⇒VT≥274⇒VT≥427​

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$

https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(x^2y^2+1\ge2xy,\) \(y^2z^2+1\ge2yz,\) \(z^2x^2+1\ge2zx\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với \(x^2+y^2+z^2\), ta được:

\(\left(x+y+z\right)^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3=9\)

Từ đó suy ra: \(Q\le3\)

Mặt khác, dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)  nên ta có kết luận \(Max_Q=3\)

Ta sẽ chứng minh \(Q\ge\sqrt{6}\) với dấu đẳng thức xảy ra, chẳng hạn \(x=\sqrt{6},\) \(y=z=0.\) Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(2xy+x^2y^2\le x^2+y^2+x^2y^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Từ đó suy ra: \(xy\le\sqrt{7}-1< 2\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 

\(yz< 2,\) \(zx< 2.\)

Do đó, ta có: 

\(Q^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Hay: \(Q\ge\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow Min_Q=\sqrt{6}\)

Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ 3 số \(\left(\sqrt{1-y^2};\sqrt{2-z^2};\sqrt{3-x^2}\right)\) và \(\left(x,y,z\right)\) ta có

\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\left[6-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\left(1\right)\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=a\) ta có Bất đẳng thức (1) tương đương

\(9=\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(a\right)\cdot\left(6-a\right)\)

\(=-a^2+6a-9+9=-\left(a-3\right)^2+9\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi   Giải hệ phương trình trên ta được 

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=x^2+y^2+z^2=3\\\frac{x^2}{1-y^2}=\frac{y^2}{2-z^2}=\frac{z^2}{3-x^2}=1\end{cases}}\)   giải hệ pt ta có \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\\z=\sqrt{2}\end{cases}}\)

Thế nào nó bị lỗi nên không hiển thị

\(z=\sqrt{2}\)nữa olm bị sao mà lỗi suất vậy

đánh sai đề rồi bạn êi, phải là \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3\Leftrightarrow2x\sqrt{1-y^2}\) \(+2y\sqrt{2-z^2}+2z\sqrt{3-x^2}=6\)

<=> \(\left(x-\sqrt{1-y^2}\right)^2+\left(y-\sqrt{2-z^2}\right)^2+\left(z-\sqrt{3-x^2}\right)^2=0\)

<=> ..bla bla tự làm nhá !

Thanks bạn nhiều nhiều lắm nha

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\\left(x+y+z\right)^2=17+\frac{2xyz}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-4\\xyz=-12\end{cases}}\)

Từ đây ta có x, y, z sẽ là 3 nghiệm của phương trình

\(X^3-3X^2-4X+12=0\) 

\(\Leftrightarrow\left(X-3\right)\left(X-2\right)\left(X+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}X=3\\X=2\\X=-2\end{cases}}\)

Vậy các bộ x, y, z thỏa đề bài là: \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,3;-2,3,2;2,-2,3;2,3,-2;3,2,-2;3,-2,2\right)\)

?????????????????????????