\(\dfrac{223\times75-23\times37+223\times25-23\times63}{100\times76-12\times3,5-5,8:0,1}\\ =\dfrac{223\times\left(75+25\right)-23\times\left(37+63\right)}{100\times76-42-58}\\ =\dfrac{\left(223-23\right)\times100}{100\times76-100}\\ =\dfrac{200\times100}{100\times75}=\dfrac{200}{75}=\dfrac{200:25}{75:25}=\dfrac{8}{3}\)

Lời giải:
Gọi số công nhân mỗi đội lần lượt là $a,b,c$. Vì số công nhân tỉ lệ nghịch với số
 ngày làm nên $4a=6b=8c=\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{6}}=\frac{c}{\frac{1}{8}}$

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{6}}=\frac{c}{\frac{1}{8}}=\frac{a-b}{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}=\frac{4}{\frac{1}{12}}=48$

$\Rightarrow a=48.\frac{1}{4}=12; b=48.\frac{1}{6}=8; c=48.\frac{1}{8}=6$

lm câu mấy ạ

14.

\(\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\le\dfrac{1}{4}\left(ab+bc+c+a\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+c\right)^2\left(b+1\right)^2\)

Tương tự:

\(\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\le\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2\left(a+1\right)^2\)

\(\left(bc+a\right)\left(ca+b\right)\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)^2\)

Nhân vế với vế và khai căn:

\(\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\left(ca+b\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

Mặt khác ta có:

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\dfrac{1}{27}\left(a+b+c+3\right)^3=8\)

\(\Rightarrow\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\left(ca+b\right)\le\dfrac{1}{8}.8.\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi...

15.

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{2a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}-1\right)\le2-3\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(b+c-a\right)^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}\ge1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{x+z}{2}\\c=\dfrac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

\(VT=\sum\dfrac{x^2}{2\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^2+x^2}=\sum\dfrac{2x^2}{2x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\sum\dfrac{2x^2}{2x^2+2\left(y^2+z^2\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi...

Em ơi, em cần phương pháp giải dạng nào. và bài tập cụ thể là như nào vậy em, phải có đề bài cụ thể thì thầy cô mới hướng dẫn được em nhé

Từ GT \(\Leftrightarrow a>0;bc>0\)

\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}+\left(b+c\right)^2-3bc-a\left(b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^2}\ge0\)

Vì \(a^3>36\) nên 

\(\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^2}\\ >\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)