cho hbh ABCD, lấy K bất kì thuộc DC. Đường thẳng AK lần lượt cắt BC,BD tại G,I a, cm GC/GB=GK/GA B,CM AD/AK=BG/GA C, MC. GA=IK. MB
cho hbh ABCD, lấy K bất kì thuộc DC. Đường thẳng AK lần lượt cắt BC,BD tại G,I
a, cm GC/GB=GK/GA
B,CM AD/AK=BG/GA
a:
ta có: ABCD là hình bình hành
=>AB//CD
Ta có: AB//CD
K\(\in\)CD
Do đó: CK//AB
Xét ΔGAB có CK//AB
nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)
b:
ta có: ABCD là hình bình hành
=>BC//AD
Ta có: BC//AD
C\(\in\)BG
Do đó: BG//AD
=>\(\widehat{BGA}=\widehat{DAG}\)(hai góc so le trong)
Xét ΔBGA và ΔDAK có
\(\widehat{BGA}=\widehat{DAK}\)
\(\widehat{GBA}=\widehat{ADK}\)(ABCD là hình bình hành)
Do đó: ΔBGA đồng dạng với ΔDAK
=>\(\dfrac{BG}{DA}=\dfrac{GA}{AK}\)
=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)
Cho hình bình hành ABCD lấy điểm K bất kì thuộc cạnh DC đường thẳng AK lần lượt cắt đường thẳng BC đường chéo BD tại G,I
A) chứng minh:GC/GB=GK/GA
B) chứng minh AD/AK=BG/GA.
C) chứng minh CM.KG=IK.GM
a: Xét ΔGAB có KC//AB
nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)
b: Xét ΔKAD và ΔAGB có
\(\widehat{KAD}=\widehat{AGB}\)(hai góc so le trong, DA//BC)
\(\widehat{AKD}=\widehat{GAB}\)(hai góc so le trong, DK//AB)
Do đó: ΔKAD đồng dạng với ΔAGB
=>\(\dfrac{AK}{AG}=\dfrac{AD}{GB}\)
=>\(\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{AG}{GB}\)
=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)
Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC. Đường thẳng AK lần lượt cắt đường thẳng BC, đường chéo BD tại G, I.
a) chứng minh:GC/GB=GK/GA
b)chứng minh:AD/AK=BG/GA
c)Từ I kẻ IM // AB (M thuộc BC ). Chứng minh :MC.GA=IK.GB
4.Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BD và CF cắt nhau ở G. AG kéo dài cắt BC tại H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GC. CM: Ak, BD, CI đồng quy
1. Tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác và M bất kì trong tam giác, Đường thẳng qua M,G cắt BC,CA,AB tại A';B';C'. Chứng minh:
\(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
+) Gọi AP là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC, giao điểm của tia AM và BC là D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AP, nó cắt BC tại N.
Xét \(\Delta\)PDA có: M thuộc AD; N thuộc PD; MN // AP => \(\frac{MN}{AP}=\frac{DM}{DA}\Rightarrow\frac{DM}{DA}=\frac{MN}{3.GP}\) (ĐL Thales) (*)
Xét \(\Delta\)GA'P có: M thuộc GA'; N thuộc PA'; MN // GP => \(\frac{MN}{GP}=\frac{MA'}{GA'}\), thế vào (*) được
\(\frac{DM}{DA}=\frac{1}{3}.\frac{MA'}{GA'}\). Chứng minh tương tự: \(\frac{EM}{EB}=\frac{1}{3}.\frac{MB'}{GB'};\frac{FM}{FC}=\frac{1}{3}.\frac{MC'}{GC'}\)
Suy ra \(\frac{1}{3}\left(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}\right)=\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\)
\(\Rightarrow\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\left(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}\right)\)(1)
+) Gọi giao điểm của BM và AC là E; CM với AB là F. Qua M kẻ 2 đường thẳng song song với AB và BC, chúng cắt AC lần lượt tại H và K.
Áp dụng ĐL Thales, ta có các tỉ số:
\(\frac{DM}{DA}=\frac{CK}{AC};\frac{FM}{FC}=\frac{AH}{AC};\frac{EM}{EB}=\frac{EH}{EA}=\frac{EK}{EC}=\frac{EH+EK}{EA+EC}=\frac{HK}{AC}\)
Cộng các tỉ số trên, ta được: \(\frac{DM}{DA}+\frac{EM}{EB}+\frac{FM}{FC}=\frac{CK+HK+AH}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)(2)
+) Từ (1) và (2) => \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\) (đpcm).
1.cho hbh ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . gọi E là điểm bất kì trên cạnh AB , tia EO cắt DC tại F . Cm:
E và F đối xứng nhau qua O
2. cho tam giác ABC cân tại A và D là điểm đối xứng của A qua BC .
a.gọi F là giao điểm của AD và AC . tứ giác ABDC là hình gì ? vì sao?
b. gội E là điểm đối xứng với C qua A . cm: EB vuông vơi BC
c. tứ giác ADBE là hình gì vì sao
d. đường thẳng È cắt AB tại G . CM: GA=1/2 GB
e. đường thẳng CG cắt AF tại I CM: IA=IF
cho ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến AD và BF cắt nhau tại G.AG kéo dài cắt BC tại H a. so sánh ΔABH và ΔAHC b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GC chứng minh AK,BD,CI đồng quy (nhớ vẽ hình vs giả thiết nha)
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, M là một điểm nằm trong tam giác \(\left(M\ne G\right)\) . Đường thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C', A', B'. Chứng minh rằng: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
TA CÓ
\(\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB}{S\Delta AGB}\left(1\right)\)
\(\frac{MB,}{GB,}=\frac{S\Delta AMC}{S\Delta AGC}\left(2\right)\)
DỰNG GH VÀ MD VUÔNG GÓC VỚI BC
AD ĐỊNH LÍ TA LÉT
=>\(\frac{MD}{GH}=\frac{MA,}{GA,}\)
MẶT KHÁC \(\frac{MD}{GH}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\)
=> \(\frac{MA,}{GA,}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\left(3\right)\)
TỪ 1 ,2,3
=> \(\frac{MA,}{GA,}+\frac{MB,}{GB,}+\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB+S\Delta BMC+S\Delta AMC}{\frac{1}{3}S\Delta ABC}=\frac{3SABC}{SABC}=3\)
Bài 2; Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC tại K.
A, CM; AK = KC; BI = ID
B, Cho AB = 6 cm; CD = 10 cm; Tính EI; KF, IK.