a: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

=>AMCK là hình bình hành

Ta có; ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)BC

Hình bình hành AMCK có \(\widehat{AMC}=90^0\)

nên AMCK là hình chữ nhật

b: ta có: AMCK là hình chữ nhật

=>AK//CM và AK=CM

Ta có: AK//CM

M\(\in\)BC

Do đó: AK//MB

Ta có: AK=CM

MB=MC

Do đó: AK=MB

Xét tứ giác AKMB có

AK//MB

AK=MB

Do đó: AKMB là hình bình hành

c: ta có: ABMK là hình bình hành

=>MK//AB

=>MI//AB 

Xét tứ giác AIMB có MI//AB

nên AIMB là hình thang

d: Ta có: ABMK là hình bình hành

=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường

mà Q là trung điểm của AM

nên Q là trung điểm của BK

=>B,Q,K thẳng hàng

a) Để chứng minh MAKC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh MA và KC vuông góc và có độ dài bằng nhau.Vì tam giác ABC cân ở A, nên ta có AM = CM. Vì M là trung điểm của AC, nên ta có AM = MC.Vì MI = IK (theo đề bài), và M là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.Do đó, ta có AM = MC = AI = IC.Vậy, ta có MA = KC và MA vuông góc KC.Từ đó, ta có thể kết luận rằng MAKC là hình chữ nhật.b) Để chứng minh BAMK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh BA và MK song song và có độ dài bằng nhau.Vì MI = IK (theo đề bài), và M là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.Vì tam giác ABC cân ở A, nên ta có BA = BC.Vì M là trung điểm của AC, nên ta có BM = MC.Vậy, ta có BA = BC và BM = MC.Từ đó, ta có thể kết luận rằng BAMK là hình bình hành.c) Để chứng minh AIMB là hình thang, ta cần chứng minh rằng các cạnh AI và BM song song.Vì MI = IK (theo đề bài), và M là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.Vì M là trung điểm của AC, nên ta có BM = MC.Vậy, ta có thể kết luận rằng AIMB là hình thang.d) Để chứng minh B, Q, và K thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng các điểm B, Q, và K nằm trên cùng một đường thẳng.Vì M là trung điểm của AC, nên ta có MQ là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, MQ song song với BC.Vì MI = IK (theo đề bài), và M là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.Vậy, ta có thể kết luận rằng B, Q, và K thẳng hàng.

b/ Có AE // BC (GT)

=> \(\widehat{EAN}=\widehat{ABC}\)

Xét t/g EAN và t/g MBN có

\(\widehat{EAN}=\widehat{ABC}\) (cmt(AN = BN (GT)

\(\widehat{ENA}=\widehat{MNB}\) (đối đỉnh)

=> t/g EAN = t/g MBN (g.c.g)

=> AE = MB 

Mà CM = BM (do t/g ABM = t/g ACM) ; M thuộc BC)

=> M là trung điểm BC=> 2AE = 2 MN=BC

c/ Có 

AM ⊥ BC (GT)AE // BC

=> AM ⊥ AE

=> \(\widehat{EAO}=\widehat{OMC}=90^o\)

Xét t/g EAO và t/g CMO có

EA = CM (=BM)\(\widehat{EAO}=\widehat{OMC}=90^o\)

AO = MO

=> t/g EAO = t/g CMO (c.g.c)=> \(\widehat{EOA}=\widehat{COM}\)

Mà 2 góc này đối đỉnh

=> E , O , C thẳng hàng.

â)xét tam giác AMBvà tam giác AMC

AB=AC( gt)

AM chung

MB=MC ( M là trung điểm của BC )

=> tam giác AMB= tam giác AMC ( c.c.c)

=> góc AMB= góc AMC ( 2 góc tương ứng )

mà góc AMB+ góc AMC = 180O ( 2 GÓC KỀ BÙ )

=> góc AMB= góc AMC=90O

=> AM vuông góc với BC

b) xét tam giác ADF và tam giác ADE

DF=DE ( gt)

góc ADF= góc CDE ( 2 góc đối đỉnh )

AD=CD ( D là trung điểm của AC)

=> tam giác ADF = tam giác ADE ( c.g.c)

=> góc CAF= góc ACÊ ( 2 góc tương ứng ) mà chúng ở vị trí so le trong do AC cắt AF và CE

=.> AF// CE