Xét \(a+b\ge1\Leftrightarrow b\ge1-a\)

Xét \(Q\ge\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2=\dfrac{8a^2}{4a}+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{a}{4a}+1-2a+a^2\)

        \(=2a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+1-2a+a^2\)\(=a^2+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{3}{4}\)\(=\left(a^2+\dfrac{1}{8a}+\dfrac{1}{8a}\right)+\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng Cosi được \(Q\ge3\sqrt[3]{a^2\cdot\dfrac{1}{8a}\cdot\dfrac{1}{8a}}+\dfrac{3}{4}\)\(=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\) 

Vậy \(Qmin=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2=a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)(do \(a+b\ge1\))

\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bạn tham khảo:

Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24

Chắc là bạn ghi nhầm mẫu số cuối cùng

\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{1+4a^2}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(1+b\right)}{4a}=1+b-a\left(1+b\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(1+c\right)\) ; \(\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(1+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge3+a+b+c-\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

biến b để làm gì thế bạn???

Ta có:

\(c+d=4\)

\(\Rightarrow\left(c+d\right)^2=4^2\)

\(\Rightarrow c^2+2cd+d^2=16\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2=2+16=18\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(4a^2+c^2\ge2.2a.c=4ac\)

\(b^2+d^2\ge2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+d^2\ge4ac+2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2\ge4ac+2bd+2cd\)

\(\Rightarrow18\ge4ac+2bd+2cd\left(theo\left(1\right)\right)\)

\(\Rightarrow18\ge2\left(2ac+bd+cd\right)\)

\(\Rightarrow9\ge2ac+bd+cd\)

\(\Rightarrow2ac+bd+cd\le9\)

\(\Rightarrow A_{max}=9\Leftrightarrow2a=c;b=d\)

Để max đúng 

BẠN LÀM SAI RỒI phải tìm rõ cả a,b,c,d 

Nếu ko lm sao có dấu bằng xảy ra

vì hệ pt 4a²+b²=2 c=d

              c+d=4; 2a=b

vô nghiệm

P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)

P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)

\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)

Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi  \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)

n=2 mới đúng

quên a=2 mới đúng, vì bđt côsi đ/k là a=b