1.

a.\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2007}\)

\(2A=2+2^2+2^3+....+2^{2008}\)

b. \(A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2008}\right)-\left(1+2^1+2^2+..+2^{2007}\right)\)

\(=2^{2008}-1\) (bạn xem lại đề)

2.

\(A=1+3+3^1+3^2+...+3^7\)

a. \(2A=2+2.3+2.3^2+...+2.3^7\)

b.\(3A=3+3^2+3^3+...+3^8\)

\(2A=3^8-1\)

\(=>A=\dfrac{2^8-1}{2}\)

3

.\(B=1+3+3^2+..+3^{2006}\)

a. \(3B=3+3^2+3^3+...+3^{2007}\)

b. \(3B-B=2^{2007}-1\)

\(B=\dfrac{2^{2007}-1}{2}\)

4.

Sửa: \(C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6\)

a.\(4C=4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6+4^7\)

b.\(4C-C=4^7-1\)

\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)

5.

\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2017}\)

\(2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2018}\)

\(S=2^{2018}-1\)

4:

a:Sửa đề: C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6

=>4*C=4+4^2+...+4^7

b: 4*C=4+4^2+...+4^7

C=1+4+...+4^6

=>3C=4^7-1

=>\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)

5:

2S=2+2^2+2^3+...+2^2018

=>2S-S=2^2018-1

=>S=2^2018-1

\(B=\frac{1}{21}+\frac{1}{31}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{211}< \frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{210}\)

                                                                        \(=\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{14.15}\)

                                                                        \(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}\)              

                                                                        \(=\frac{1}{4}-\frac{1}{15}\)               

                                                                        \(=\frac{15}{60}-\frac{4}{60}\)              

                                                                        \(=\frac{11}{60}< \frac{60}{60}=1\)          

Vậy \(B< 1\)

1/

Tổng A là tổng các số hạng cách đều nhau 4 đơn vị.

Số số hạng: $(101-1):4+1=26$

$A=(101+1)\times 26:2=1326$

2/

$B=(1+2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+(2^6+2^7+2^8)+(2^9+2^{10}+2^{11})$

$=(1+2+2^2)+2^3(1+2+2^2)+2^6(1+2+2^2)+2^9(1+2+2^2)$

$=(1+2+2^2)(1+2^3+2^6+2^9)$

$=7(1+2^3+2^6+2^9)\vdots 7$

3/
$C=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$

$2C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$

$\Rightarrow 2C-C=2^{100}-1$

$\Rightarrow C=2^{100}-1$

a) \(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11.\left(a+b\right)\)

Vì 11⋮11 nên \(\overline{ab}+\overline{ba}\)⋮11

b) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-\left(10b+a\right)=10a+b-10b-a=9a-9b=9.\left(a-b\right)\)

Vì 9⋮9 nên với \(a>b\) thì \(\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\)

a)ab+ba

=a.10+b.1+b.10+a.1

=a.10+a.1+b.10+b.1

=a.(10+1)+b.(10.1)

=a.11+b.11

=11.(a+b)⋮11(vì 11⋮11)

b)ab - ba

= 10a + b - (10b + a)

= 10a + b - 10b - a

= 9a - 9b = 9(a - b)

Vậy ta suy ra 9(a - b) chia hết cho 9 hay ab - ba chia hết cho 9 (a > b)

\(\frac{1}{21}+\frac{1}{31}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{211}< \frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{210}=A\)

Mà \(A=\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{14.15}\)

\(A=\frac{5-4}{4.5}+\frac{6-5}{5.6}+\frac{7-6}{6.7}+...+\frac{15-14}{14.15}\)

\(A=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}=\frac{1}{4}-\frac{1}{15}=\frac{3}{20}\)

Mà \(\frac{1}{5}=\frac{4}{20}>A=\frac{3}{20}\)

=> Biểu thức đề bài cho là đúng

\(A=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{60}\)

\(=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{45}\right)+\left(\frac{1}{46}+...+\frac{1}{60}\right)>\frac{1}{45}.15+\frac{1}{60}.15=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

=>đpcm

l-i-k-e cho mình nha

vì sao lại thế

3A = 3+3²+3³+3⁴+...+3²⁰+3²¹

3A - A = (3+3²+3³+3⁴+...+3²⁰+3²¹) - ( 1+3+3²+3³+...+3¹⁹+2²⁰)

2A = 3²¹-1

A   =  \(\dfrac{31^{21}-1}{2}\)

Bài 1:

\(a,A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2\right)\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)=3\left(2+...+2^{2009}\right)⋮3\\ A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\\ A=\left(1+2+2^2\right)\left(2+...+2^{2008}\right)=7\left(2+...+2^{2008}\right)⋮7\)

\(b,\left(\text{sửa lại đề}\right)B=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)=4\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)⋮4\\ B=\left(3+3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2008}+3^{2009}+3^{2010}\right)\\ B=\left(1+3+3^2\right)\left(3+...+3^{2008}\right)=13\left(3+...+3^{2008}\right)⋮13\)

Bài 2:

\(a,\Rightarrow2A=2+2^2+...+2^{2012}\\ \Rightarrow2A-A=2+2^2+...+2^{2012}-1-2-2^2-...-2^{2011}\\ \Rightarrow A=2^{2012}-1>2^{2011}-1=B\\ b,A=\left(2020-1\right)\left(2020+1\right)=2020^2-2020+2020-1=2020^2-1< B\)

đúng rùi

b.ta chia B thành 10 nhóm mỗi nhóm có 6 hạng tử  \(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+....+\left(2^{55}+2^{56}+2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(B\text{=}2\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+2^{55}\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)

\(B\text{=}2.63+...+2^{56}.63\)

\(\Rightarrow B⋮63\)

\(\Rightarrow B⋮21\)