I don't now

mik ko biết 

sorry 

......................

1.  \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le a^2+b^2\) (  \(\forall a;b\))

2.  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)( \(\forall a;b>0\))

3.  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\left(a;b>0\right)\)

4.  \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) \(\left(a;b>0\right)\)

5.  \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)

6.  \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

7.  \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

8.  \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) \(\left(a;b;c>0\right)\)

9.  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)\(\left(x;y>0\right)\)

10.  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) \(\left(x;y;z>0\right)\)

o0o I am a studious person o0o I don't know mới có nghĩa là tôi không biết nha, I don't now là sai ấy
 

1.

\(\left(x+y\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}.2x+\dfrac{1}{3}.3y\right)^2\le\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}\right)\left(4x^2+9y^2\right)=\dfrac{169}{36}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{13}{6}\le x+y\le\dfrac{13}{6}\)

Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{2}{3}\right)\) và \(\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{2}{3}\right)\)

2.

\(\left(y-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}.4y+\left(-\dfrac{1}{3}\right).6x\right)^2\le\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)\left(16y^2+36x^2\right)=\dfrac{25}{16}\)

\(\Rightarrow\left|y-2x\right|\le\dfrac{5}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\mp\dfrac{2}{5};\pm\dfrac{9}{20}\right)\)

3.

\(B^2=\left(6.\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(6^2+8^2\right)\left(x-1+3-x\right)=200\)

\(\Rightarrow B\le2\sqrt{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{6}=\dfrac{\sqrt{3-x}}{8}\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{25}\)

\(B=6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}+2\sqrt{3-x}\ge6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}\)

\(B\ge6\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)\ge6\sqrt{x-1+3-x}=6\sqrt{2}\)

\(B_{min}=6\sqrt{2}\) khi \(\sqrt{3-x}=0\Rightarrow x=3\)

4.

\(49=\left(3a+4b\right)^2=\left(\sqrt{3}.\sqrt{3}a+2.2b\right)^2\le\left(3+4\right)\left(3a^2+4b^2\right)\)

\(\Rightarrow3a^2+4b^2\ge\dfrac{49}{7}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

5.

\(\left(y-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}.4y-\dfrac{1}{3}.6x\right)^2\le\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)\left(16y^2+36x^2\right)=\dfrac{25}{16}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{5}{4}\le y-2x\le\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{5}{4}+5\le y-2x+5\le\dfrac{5}{4}+5\)

\(\Rightarrow\dfrac{15}{4}\le y-2x+5\le\dfrac{25}{4}\)

\(C_{min}=\dfrac{15}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2}{5};-\dfrac{9}{20}\right)\)

\(C_{max}=\dfrac{25}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20}\right)\)

Lần sau lưu ý đăng câu hỏi 1 lần thôi, em đăng nhiều lần lặp lại sẽ bị xóa + ko ai giải cho đâu

“Tại sao 1 + 1 = 2”. Đó là: đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra mà thôi, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+” thì người ta ký hiệu dấu “-”, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2” thì về bản chất cũng không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).

uk the anh hoi chu dang le ra 1 them 1 bang 11 ma chang ai tin anh. Ta cung canh ngo day

thank bạn

Hai bđt đó là một đấy bạn.

Ngoài ra còn có tên là BĐT Cauchy dạng Engel nữa mà mình ko biết Engel là gì cả?:)

Chữ Svac-xơ được phiên âm từ chữ Schwarz ra mà bạn

Engel là lấy theo tên nhà toán học Đức Arthur Engel thì phải

BĐT Cosi cho 2 số a,b >0: 
a + b >= 2căn(ab) 

di từ: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 ) 

<=> a + b - 2√(ab) ≥ 0 

<=> a + b ≥ 2√(ab) 
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b 
 

(a+b)/2 >=Cab(C là căn) 
a+b>=2*Cab 
(a+b)^2>=4*ab 
a^2+2ab+b^2-4ab>=0 
a^2-2ab+b^2>=0 
(a-b)^2>=0(luôn đúng) 
vây ta được điều cm 
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn 

(a+b)/2 >=Cab(C là căn) 
a+b>=2*Cab 
(a+b)^2>=4*ab 
a^2+2ab+b^2-4ab>=0 
a^2-2ab+b^2>=0 
(a-b)^2>=0(luôn đúng) 
vây ta được điều cm 
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn 

Bài làm:

*CM bất đẳng thức Cauchy

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\ge\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Mình chứng minh theo cách đặt biến x,y nhé!

*Chứng minh không có giá trị nào của x,y,z thỏa mãn đẳng thức: (Đề bạn chép nhầm biến x thành a nhé)

Ta có:

\(x^2+4y^2+z^2-2x+8y-6z+15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+1\right)+\left(z^2-6z+9\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4=0\)\(\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(2y+1\right)^2\ge0\\\left(z-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)với mọi x,y,z

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)với mọi x,y,z

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4\ge4>0\)với mọi x,y,z \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn\(\Rightarrow\)Không tồn tại bất kỳ giá trị nào của x,y,z thỏa mãn đẳng thức trên

=> điều phải chứng minh

Học tốt!!!!

Có thể đưa về hàm số:

\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)

Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)

\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)