Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Vậy a=b=c=d

a4+b4+c4+d2>4abed

bài này cũng có thể giải bằng cauchy 2 số

a^4+b^4+c^4+d^4≥2a^2b^2+2c^2d^2

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2(a^2b^2+c^2d^2)

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2.2abcd

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥4abcd

dấu "=" xảy ra khi {a^4=b^4;c^4=d^4;a^2b^2=c^2d^2 =>a=b=c=d

( dấu ^ là nâng lên lũy thừa nhiên bạn )

Huỳnh Minh Quý lm đúng òi đó

Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )

Ta áp dụng Cauchy 2 số

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số 

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Dấu = khi các biến bằng nhau

\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ =  40000 + a000 + b00 + c0 + d

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - d = 4abc0 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - abcd = 40000

nếu a ; b ; c ; d bằng nhau thì 

a ^{4 + 4 + 4 + 4} - abcd = 40000

a¹⁶ - abcd = 40000

cho a  = 1 ; vậy biểu thức là :

16 - abcd = 40000

vậy không thể chứng minh được 

nhé !

Kết luận :  .....................................................

a⁴ ; b⁴;....đều là số dương nên theo bđt cosi ta có: 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ >= 4căn mũ 4 của (abcd)⁴ >= 4abcd

dấu = chỉ xảy ra khi a=b=c=d (dpcm)