Gọi ƯCLN(6n+5; 2n+1) là d. Ta có:

6n+5 chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d

=> 6n+5-(6n+3) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(2)

Mà 2n+1 lẻ

=> không chia hết cho 2

=> d = 1

=> ƯCLN(6n+5; 2n+1) là d

=> 6n+5 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

6n + 5 chia hết cho n

2n + 1 chia hết cho a => 6n + 3 chia hết cho n

Mà 6n chia hết cho n 

=> UCLN(6n + 5 ; 6n + 3) = 1

Vậy là số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 4n^2-2n-5)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 4n^2-2n-5\vdots d$

$\Rightarrow 4(n+1)^2-(4n^2-2n-5)\vdots d$
$\Rightarrow 10n+9\vdots d$

$\Rightarrow 10(n+1)-1\vdots d$

Mà $n+1\vdots d$ nên $1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+1, 4n^2-2n-5$ nguyên tố cùng nhau. Để $(n+1)(4n^2-2n-5)$ là scp thì bản thân mỗi số $n+1, 4n^2-2n-5$ là scp.

Đặt $n+1=a^2; 4n^2-2n-5=b^2$

$\Rightarrow 4(a^2-1)^2-2(a^2-1)-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-8a^2+4-2a^2+2-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$

$\Leftrightarrow 16a^4-40a^2+4=4b^2$
$\Leftrightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$

$\Leftrightarrow 21=(4a^2-5)^2-(2b)^2=(4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản, chỉ cần xét các TH để tìm ra $a,b$

Chỗ đấy phải là (2n)² =  (2p² + p + 1)² 

Đặt UCLN ( 2n + 3 ; 3n + 4 ) = d

=> 2n + 3 chia hết cho d; 3n +4 chia hết cho d

=> 3 ( 2n + 3 ) chia hết cho d; 2 ( 3n + 4 ) chia hết cho d

=> 6n + 9 chia hết cho d; 6n + 8 chia hết cho d

=> 6n + 9 - 6n - 8 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy UCLN ( 2n + 3 ; 3n + 4 ) = 1

Ta có: n(n+1)(2n+5)-n(n+1)(n+3)=n(n+1)(2n+5-n-3)=n(n+1)(n+2)

Do n, n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chẵn => chia hết cho 2

Tổng các số hạng là: n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1) => Luôn chia hết cho 3

=> n(n+1)(2n+5)-n(n+1)(n+3)=n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 6

Ta có:

 n(n + 1)(2n + 5) – n(n + 1)(n + 3) = n(n + 1)(2n + 5 - n - 3) = n(n + 1)(n + 2)

Do n, n + 1 và n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chẵn => chia hết cho 2

Tổng các số hạng là: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) => chia hết cho 3

=>  n(n + 1)(2n + 5) – n(n + 1)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2) => chia hết cho 6.

Vậy n(n + 1)(2n + 5) – n(n + 1)(n + 3) chia hết cho 6.

a, 2 + 4 + 6 + ....... + 2n = 210

= ( 2 +2n ) + ( 4 + 2n - 2 ) + ( 6 + 2n - 4 ) + .... = 210

=> ( 2 + 2n ) + ( 2n + 2 ) + ( 2 + 2n ) + ........ = 210

Số hạng trong tổng là : ( 2n - 2 ) ; 2 + 1= 2 ( n - 1 ) : 2 + 1 = n - 1 + 1 = n là số

Số cạp 2n + 2 là : n : 2

Tổng là : ( 2n +2 ) . n : 2 = 210

=> n ( n + 1 ) = 210

Vì n và n + 1 là số tự nhiên liên tiếp tích = 210 => n = 14

a ) \(2+4+6+...+2n=210\)

\(=1.2+2.2+2.3+...+2n=210\)

\(=2.\left(1+2+3+...+n\right)=210\)

\(=1+2+3+...+n=210:2\)

\(=1+2+3+...+n=105\)

\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}=105\)

\(n\left(n+1\right)=210\)

\(n\left(n+1\right)=14.15\)

\(\Rightarrow n=14\)

b ) 1+3+5+...+(2n-1)=225 
<=>{[(2n-1)+1].[(2n-1)-1]:2 + 1}/2 = 225 
<=> (2n.2n):4 = 225 
<=> n^2=225 
suy ra n = 15 và n = -15 

2 + 4 + 6 + ... + 2n = 210

2.(1 + 2 + 3 + ... + n) = 210

2.(1 + n).n:2 = 210

(1 + n).n = 15.14

=> n = 14

Vậy n = 14

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 225

\(\left(\frac{\left(2n-1\right)-1}{2}+1\right).\left[\left(2n-1\right)+1\right]:2=225\)

\(\left(\frac{2n-2}{2}+1\right).2n:2=225\)

\(\left(n-1+1\right).n=225\)

\(n^2=225\)

\(n^2=15^2\)

=> n = 15

Vậy n = 15

2 là ước của n(n + 5) thì n(n + 5) chia hết cho 2

Bg

Vì n thuộc N nên n có thể là số chẵn hoặc n là số lẻ

(n lưỡng tính --> n gay :)))

Với n là số chẵn:

=> n \(⋮\)2

=> n(n + 5) \(⋮\)2

=> 2 là ước của n(n + 5)

=> ĐPCM

Với n là số lẻ

=> n + 5 là số chẵn

=> n + 5 \(⋮\)2

=> n(n + 5) \(⋮\)2

=> 2 là ước của n(n + 5)

=> ĐPCM

Vậy với mọi n thuộc N thì 2 là ước của n(n + 5)

thanks you bạn nhé

n = { 3, -3 , -8

Để \(A\in Z\Leftrightarrow\left(n+8\right)⋮\left(2n-5\right)\)

Giả sử\(\left(n+8\right)⋮\left(2n-5\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(n+8\right)⋮\left(2n-5\right)\)

\(\Leftrightarrow2n+16⋮\left(2n-5\right)\)

\(\Leftrightarrow2n-5+21⋮\left(2n-5\right)\)

Do \(2n-5⋮2n-5\)

\(\Rightarrow21⋮\left(2n-5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2n-5\right)\inƯ\left(21\right)\)

Ta có bảng sau:

Do \(n\inℕ^∗\Rightarrow n\in\left\{1;2;3;4;6;13\right\}\)