Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau ak

Câu này sai đề lúc nãy tớ tính ra mà ra số nguyên

Áp dụng bất đẳng thức Cosi với các số dương a,b,c ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\) (1)

CMTT, ta có: \(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) (2)

\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) = \(\dfrac{6}{2}=3\)

\(\Rightarrow\) A\(\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=2\)

Vậy GTNN của A = 3 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Ta co:\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

Dat \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)

\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)

\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16}.\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.\frac{2}{ab}\ge1+\frac{15}{16}.\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{17}{2}\)

Dau '=' xay ra \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(P_{min}=\frac{17}{2}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)