Áp dụng BĐT Svác-xơ ta có:

\(\frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}\ge\frac{\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\right)^2}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\)

do  \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\ne\frac{2018}{\sqrt{2017}}\)nên dấu "=" không xảy ra

Vậy  \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}>\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\)

c) Bình phương hai vế ta được 2015+2017+2\(\sqrt{2015\times2017}\) và 4\(\times\)2016

Ta có 2015 + 2017 + 2\(\sqrt{2015\times2017}\)

= (2016-1) + (2016+1) + 2\(\sqrt{2015\times2017}\)

= 2016 + 2016 + 1 - 1 + 2\(\sqrt{2015\times2017}\)

= 2\(\times\)2016 + 2\(\sqrt{2015\times2017}\) (1)

ta thấy 2015 \(\times\) 2017 =(2016-1) \(\times\) (2016+1)= 2016² - 1

nên (1) \(\Leftrightarrow\)2\(\times\)2016 + 2\(\sqrt{2016^2-1}\)

Ta có 4\(\times\)2016=2\(\times\)2016 + 2\(\times\)2016=2\(\times\)2016 + 2\(\sqrt{2016^2}\)

Vì 2016²-1 < 2016² nên 2\(\sqrt{2016^2-1}\) < 2\(\sqrt{2016^2}\)

\(\Leftrightarrow\) 2\(\times\)2016 + 2\(\sqrt{2016^2-1}\) < 2\(\times\)2016 + 2\(\sqrt{2016^2}\)

\(\Leftrightarrow\)2015+2017+2\(\sqrt{2015\times2017}\) < 4\(\times\)2016

Hay \(\sqrt{2015}+\sqrt{2017}\) < \(2\sqrt{2016}\)

a) Bình phương hai vế ta được 5+7+\(2\sqrt{5\times7}\) và 13.

Ta có 5+7+\(2\sqrt{5\times7}\) =12+\(2\sqrt{35}\)

13=12+1=12+\(2\times\frac{1}{2}\) =12+\(2\sqrt{\frac{1}{4}}\)

Vì 35 > \(\frac{1}{4}\) nên \(\sqrt{35}\) > \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(\Leftrightarrow\)2\(\sqrt{35}\) > \(2\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(\Leftrightarrow\)12+2\(\sqrt{35}\) > 12+\(2\sqrt{\frac{1}{4}}\)

Hay\(\sqrt{5}\)+\(\sqrt{7}\) > \(\sqrt{13}\)

b) Bình phương hai vế ta được 16² và 15\(\times\)17

Ta có 15\(\times\)17=(16-1)\(\times\)(16+1)=16²-1 < 16²

\(\Leftrightarrow\)16² > 15\(\times\)17 Hay \(\sqrt{16}>\sqrt{15}\times\sqrt{17}\)