\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)

\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)

k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8

=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)

=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24

=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm

làm 1 bài thôi có được không.

#ha le ha ban trả lời câu 2,3,4 giúp minh với

A=a^3/24+a^2/8+a/12 
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24 
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D 
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z) 
TH1: a=4k; a+2=4k+2 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z) 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên 

1) Đặt a=2k vì a chẵn 
=>A = k^3/3+k^2/2+k/6 = (2k^3+3k^2+k)/6 
= (2(k-1)k(k+1) + 3k(k+1))/6 
=(k-1)k(k+1)/3 + k(k+1)/2 
(k-1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 =>(k-1)k(k+1)/3 nguyên 
k(k+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 =>k(k+1)/2 nguyên 
=>A nguyên

\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)

\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)

\(=5n^2+5n+10\)

\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)

Gọi d=ƯCLN(3n+10;n+3)

=>3n+10-3n-9 chiahết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Rút gọn biểu thức ta có:

Với a là một số nguyên thì giá trị biểu thức bằng 2a là một số chẵn.

*Với n là số lẻ

=>n+4 là số lẽ;n+7 là số chẳn

=>(n+4)(n+7) là số chẳn

*Với n là số chẳn

=>n+4 là số chẳn;n+7 là số lẽ

=>(n+4)(n+7) là số chẳn

=>(n+4)(n+7) là số chẳn với mọi số nguyên n