Gọi ƯCLN của 6n+1 và n là d;

nên 6n+1-6n=1 chia hết cho d => d=1 hoặc -1

=>(6n+1;n)=1

=>BCNN(6n+1;n)=(6n+1)n=6n^2+1

Ta có:

n⁴+6n³+11n²+6n = n⁴+2n³+4n³+8n²+3n²+6n = (n⁴+2n³)+(4n³+8n²)+(3n²+6n) = n³(n+2)+4n²(n+2)+3n(n+2) 

= (n+2)(n³+4n²+3n) = (n+2)n(n²+3n) = n(n+1)(n+2)(n+3)

Vì tích 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24 nên n⁴+2n³+4n³+8n²+3n²+6n chia hết cho 24.

Gọi d là ƯC ( 4n + 1 ; 6n + 1 )

=> 4n + 1 ⋮ d => 3.( 4n + 1 ) ⋮ d => 12n + 3 ⋮ d

=> 6n + 1 ⋮ d => 2.( 6n + 1 ) ⋮ d => 12n + 2 ⋮ d

=> [ ( 12n + 3 ) - ( 12n + 2 ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯC ( 4n + 1 ; 6n + 1 ) = 1 nên \(\frac{4n+1}{6n+1}\) là p/s tối giản ( đpcm )

Bạn nhân lên rồi tính ra ƯCLN của chúng bằng 1

giả sử d là ucln của 4n+1 và 6n+1

=>4n+1 chia hết cho d=>12n+3 chia hết cho d

    6n+1 chia hết cho d=>12n+2 chia hết cho d

=>12+3-12-2:d

=>1:d

=>d=1

=>ucln của 4n+1 và 6n+1 là 1(điều phải chứng minh)

gọi ƯC(4n+1;6n+1) là d 

suy ra 4n+1 chia hết cho d 

suy ra 6(4n+1)chia hết cho d

suy ra 24n+6 chia hết cho d

lại có 6n+1 chia hết cho d 

suy ra 4(6n+1) chia hết cho d

suy ra 24n+4 chia hết cho d

mà 24n+6 chia hết cho d

suy ra 24n+6-(24n+4)chia hết cho d

suy ra 2 chia hết cho d

suy ra d=Ư(2)={1;2;-1;-2}

vì n thuộc N nên n={1;2)

nếu d=2 suy ra 4n+1 chia hết cho2

vì 4n chia hết cho 2 và 1 ko chia hết cho 2

suy ra 4n+1 ko chia hết cho 2 

suy ra d ko thể =2

suy ra d=1

suy ra ƯCLN(4n+1;6n+1)=1

vậy bài toán đc chứng minh