a) Xét tam giác ABM và  tam giác ACN:

Góc A chung

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

AM = AN (gt)

Suy ra: tam giác ABM = tam giác ACN (c g c)

b) Xét tam giác AMN có :

AM =AN (gt)

Suy ra:  tam giác AMN cân tại A

Suy ra góc ANM = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\)

mà góc ABC = \(\dfrac{\text{180 - góc A}}{2}\)  ( do tam giác ABC cân tại A)

Suy ra: góc ANM = góc ABC

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của MN và BC

Suy ra MN song song BC

a) Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN(gt)

Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)

b) Xét ΔAMN có AM=AN(gt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

hay \(\widehat{ANM}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ANM}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

c) Ta có: ΔABM=ΔACN(cmt)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{CBM}=\widehat{ABC}\)(tia BM nằm giữa hai tia BA,BC)

\(\widehat{ACN}+\widehat{BCN}=\widehat{ACB}\)(tia CN nằm giữa hai tia CA,CB)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)

và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)

nên \(\widehat{CBM}=\widehat{BCN}\)

hay \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)

nên ΔOBC cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)

a: AM+MC=AC

NA+NB=AB

mà AB=AC; AM=AN

nên MC=NB

b: Xét ΔNBC và ΔMCB có

NB=MC

góc NBC=góc MCB

BC chung

=>ΔNBC=ΔMCB

=>góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

a: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

c: Xét ΔMBC và ΔNCB có 

MB=NC

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

b) -Ta có:

\(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{AMN}\) (Tam giác AMN cân tại A).

\(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{ABC}\) (Tam giác ABC cân tại A).

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

=>MN//BC

Bài 2:

a) Vì \(AM=AN\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại \(A\)

b) Vì \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (1)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

Mà \(2\) góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow MN//BC\)

c) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM+MB=AB\left(M\in AB\right)\\AN+NC=AC\left(N\in AC\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AM=AC\left(cmt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MB=NC\) 

Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta NCB\) có:

\(MB=NC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(BC\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta NCB\left(c.g.c\right)\)

b: \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)

Do đó: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị

nên MN//BC