cho a,b,c>0 và a^3 +b^3 +c^3 \(\ge\) 0
tìm max : ab^3+bc^3+ca^3
bạn nào biết giải giùm mình cái . mình đang cần gấp
bài này thuộc bất đẳng thức côsi nha
\(\frac{abc}{a^3+c^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
giúp mình nha,mình cần gấp,cảm ơn các bạn.
dùng bất đẳng thức chebyshev được không ạ?
Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?
Với a, b, c >0
\(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\) (1)
<=> \(1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\le1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\right)\ge0\)(2)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)
Với a,b, c>0
(1) <=> \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3-ab^2-ac^2-ba^2-bc^2-ca^2-cb^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+a^2\left(a-c\right)+b^2\left(b-a\right)+b^2\left(b-c\right)+c^2\left(c-a\right)+c^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2\ge0\)Luôn đúng với mọi a, b, c dương
Vậy (1) đúng
"=" xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng BĐT Côsi để giải (k chấp nhận cách khác nha sorry) ( tất cả ẩn được mặc định là >0 nha )
a, CMR: \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{ab+bc+ca}{3}\)
b, Cho \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{3}{2}\)
CMR : \(\frac{a+b+c}{3}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-3\) (cái này đề khtn mới ra hôm t5 thôi (thầy t bảo thế), ai giải đc thì giải)
Cố gắng giải hộ nha :V
Chứng minh bất đẳng thức :
a) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
b) \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)với mọi a, b, c > 0
(Không dùng bất đẳng thức Cô-si)
xét các số thực a,b,c t/m 0≤a,b,c≤2 và a+b+c=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=a2+b2+c2+\(\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^3+8}{ab+bc+ca}\)
mình đang cần gấp ,mọi người giúp mình nhé
Cho a,b,c thuộc khoảng 0 đến 1.
Chứng minh bất đẳng thức :
a - b^2 - c^3 -ab - bc - ca =< 1
Từ \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\1-b\ge0\\1-c\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}b\ge b^2\\c\ge c^3\\abc\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c-\left(ab+bc+ca\right)+abc\le1\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3-\left(ab+bc+ca\right)\le1\)
cho a , b , c >0. Chứng minh các bất đẳng thức :
1, ab + bc + ca \(\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3, \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)
4, \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
5, \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1. bđt được viết lại thành
\(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
Theo bđt AM-GM thì :
\(ab+bc\ge2\sqrt{ab\cdot bc}=2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\)
Tương tự : \(bc+ca\ge2c\sqrt{ab}\); \(ab+ca\ge2a\sqrt{bc}\)
Cộng vế với vế
=> \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\right)\)
=> \(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Chứng minh các đẳng thức sau: (nhớ dùng các hằng đẳng thức 1,2,3,4 hoặc 5 nha)
1) a^3+b^3+c^3-abc= (a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
2) a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc= (a+b).(b+c).(c+a)
3) Cho a+b+c=0. Chứng minh: a^3+b^3+c^3=3abc
Các bạn giải rõ cho mình tí, đừng làm tắt nhiều quá, cảm ơn. Ai nhanh tớ tích cho nha, làm từng câu cũng đc.
1) a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ab-ac+c2) -3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab-bc-ca)
Vì a+b+c=0
=> a+b=-c
=> (a+b)3= (-c)3
=> a3+b3+3ab(a+b) = (-c)3
=> a3+b3+c3= 3abc
Cho a,b,c dương. CM bất đẳng thức sau:
\(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
Thấy mb trên nài giải bdt ghê quá, bài này chắc múc đc luôn chứ gì :D
P/S : sư phụ em tuổi già sức yếu , cầm cây bút cũng viết không nổi :v
bài này mình nghĩ chắc giả sử á , cũng chưa thử ((:
để tí hỏi sư phụ xem đã
Rút bớt 2 vế đi rồi đặt ẩn phụ là ra:D
Với a,b,c>0. Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
c, \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c