=>x^2+4xy+4y^2+y^2-2y<0

=>y^2-2y<0

=>0<y<2

=>y=1 và \(x\in Z\)

Cách khác: Ta có \(x^2y+2xy+y=32x\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+1\right)^2=32x\).

Từ đó \(32x⋮\left(x+1\right)^2\).

Mà \(\left(x,\left(x+1\right)^2\right)=1\) nên \(32⋮\left(x+1\right)^2\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\in\left\{1;4;16\right\}\).

+) Với \(\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow x=0\) (loại)

+) Với \(\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow x=1;y=8\)

+) Với \(\left(x+1\right)^2=16\Rightarrow x=3;y=6\).

Vậy...

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+2x+1\right)-32x-32=-32\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+1\right)^2-32\left(x+1\right)=-32\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(xy+y-32\right)=-32\)

Do \(x+1\ge2\) nên chỉ có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\xy+y-32=-16\end{matrix}\right.\) 

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\xy+y-32=-8\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=8\\xy+y-32=-4\end{matrix}\right.\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=16\\xy+y-32=-2\end{matrix}\right.\)

TH5: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=32\\xy+y-32=-1\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải

Lời giải:
$2x^2+y^2+2xy-6x-2y=8$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2+2xy)+x^2-6x-2y=8$
$\Leftrightarrow (x+y)^2-2(x+y)+x^2-4x=8$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-2(x+y)+1+(x^2-4x+4)=13$

$\Leftrightarrow (x+y-1)^2+(x-2)^2=13$
$\Rightarrow (x-2)^2=13-(x+y-1)^2\leq 13$
Mà $(x-2)^2$ là scp với mọi $x$ nguyên nên $(x-2)^2\in\left\{0; 1; 4; 9\right\}$

Nếu $(x-2)^2=0\Rightarrow (x+y-1)^2=13-(x-2)^2=13$ (không là scp - loại) 

Nếu $(x-2)^2=1\Rightarrow (x+y-1)^2=12$ (không là scp - loại)

Nếu $(x-2)^2=4\Rightarrow (x+y-1)^2=9$

$\Rightarrow x-2=\pm 2$ và $x+y-1=\pm 3$
TH1: $x-2=2; x+y-1=3\Rightarrow x=4; y=0$

TH2: $x-2=2; x+y-1=-3\Rightarrow x=4; y=-6$

TH3: $x-2=-2; x+y-1=3\Rightarrow x=0; y=4$

TH4: $x-2=-2; x+y-1=-3\Rightarrow x=0; y=-2$

Nếu $(x-2)^=9\Rightarrow (x+y-1)^2=4$ (bạn cũng làm tương tự trên)

x^2 +2xy -2y=?

\(x^2+2xy+7.\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)+7.\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}+y^2-\dfrac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)=\dfrac{9}{4}-y^2\)

\(Do\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{9}{4}-y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{9}{4}\)

Mà y nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\\\\y^2=1\end{matrix}\right.=0\)

Thay vào phương trình đầu: 

Với \(y=0\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\\\\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(y=1\Rightarrow x^2+9x+19=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Với \(y=-1\Rightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow\) không có x nguyên

\(x^2+2xy-2y=5\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-y^2-2y-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-y-1\right)\left(x+y+y+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=4\)

=> x - 1 và x + 2y + 1 là ước của 4

Đến đây làm tiếp đc nha ....

Cảm ơn nhìu nghen!!~~~~

        \(x^2y+2xy+y=32x\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+2x+1\right)=32\left(x+1\right)-32\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+1\right)^2=32\left(x+1\right)-32\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(32-xy-y\right)=32\)

Vì x, y nguyên dương nên:

...( tự làm nhé!)

32 nha