Xét 2 trường hợp:

TH1: n = 0

5ⁿ + 10 = 5⁰ + 10 = 11 là số nguyên tố

TH2: n ≠ 0

Ta có:

5ⁿ ⋮ 5

10 ⋮ 5

⇒ (5ⁿ + 10) ⋮ 5

⇒ 5ⁿ + 10 là hợp số

Vậy n = 0 thì 5ⁿ + 10 là số nguyên tố

Nếu đề bài là:

   5ⁿ⁺¹⁰ \(\in\) P 

⇔ 5ⁿ⁺¹⁰ = 5

⇒ n + 10 = 1

⇒ n = -9 (loại)

n \(\in\) \(\varnothing\)

Nếu đề bài là:

    5ⁿ + 10 \(\in\) P

   với n = 0 ta có 5ⁿ + 10 = 11 (thỏa mãn)

   Với n ≥ 1 ta có 5ⁿ + 10 = \(\overline{..5}\) + 10 = \(\overline{...5}\) (là hợp số loại)

Vậy n = 0

Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)

\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)

\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

Vì P là số nguyên tố nên 

\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)

\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy n=3

\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).

Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố. 

- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).

Để \(P\)là số nguyên tố thì: 

\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)

Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn. 

Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\). 

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố