Theo Cô si       4x+\frac{1}{4x}\ge24x+4x1​≥2  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}4x=4x1​=1⇔x=41​). Do đó

                                         A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016A≥2−x+14x​+3​+2016

                                        A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014A≥4−x+14x​+3​+2014

                                        A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014A≥x+14x−4x​+1​+2014=x+1(2x​−1)2​+2014≥2014

Hơn nữa    A=2014A=2014 khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.{x=41​2x​−1=0​  \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}⇔x=41​ .

Vậy  GTNN  =  2014

a:

b: phương trình hoành độ giao điểm là:

4x+2=2x-2

=>4x-2x=-2-2

=>2x=-4

=>x=-2

Thay x=-2 vào y=4x+2, ta được:

\(y=4\cdot\left(-2\right)+2=-8+2=-6\)

Vậy: M(-2;-6)

c: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\4x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\4x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: B(1;0); A(-1/2;0)

d: M(-2;-6); B(1;0); A(-1/2;0)

\(MA=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)^2+\left(0-6\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(MB=\sqrt{\left(1+2\right)^2+\left(0+6\right)^2}=3\sqrt{5}\)

\(AB=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

Chu vi tam giác MAB là:

\(C_{MAB}=MA+MB+AB=\dfrac{3}{2}+3\sqrt{5}+\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Xét ΔMAB có \(cosAMB=\dfrac{MA^2+MB^2-AB^2}{2\cdot MA\cdot MB}=\dfrac{9}{\sqrt{85}}\)

=>\(sinAMB=\sqrt{1-\left(\dfrac{9}{\sqrt{85}}\right)^2}=\dfrac{2}{\sqrt{85}}\)

Diện tích tam giác MAB là:

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}\cdot MA\cdot MB\cdot sinAMB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{85}}\)

\(=\dfrac{9}{2}\)

b: Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A=0\\0.5x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-4;0\right)\)

Tọa độ điểm B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=0\\5-2x_B=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left(2.5;0\right)\)

Tọa độ điểm C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}0.5x+2=5-2x\\y=-2x+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow C\left(1.2;2.6\right)\)

c: \(AB=6.5\)

\(BC=\sqrt{\left(1.2-2.5\right)^2+2.6^2}=\dfrac{13\sqrt{5}}{10}\)

\(AC=\sqrt{\left(1.2+4\right)^2+2.6^2}=\dfrac{13\sqrt{5}}{5}\)

Vì \(AC^2+BC^2=AB^2\) nên ΔABC vuông tại C

\(C=6.5+\dfrac{13\sqrt{5}}{10}+\dfrac{13\sqrt{5}}{5}=\dfrac{65+39\sqrt{5}}{10}\)

\(S=\dfrac{13\sqrt{5}}{10}\cdot\dfrac{13\sqrt{5}}{5}=16.9\)

b) Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x+6=-x+3\)

\(\Leftrightarrow2x+x=3-6\)

\(\Leftrightarrow3x=-3\)

hay x=-1

Thay x=-1 vào (d), ta được:

\(y=2\cdot\left(-1\right)+6=-2+6=4\)

Vậy: A(-1;4)