Chọn A

Đáp án: A

Đáp án B

Phương pháp:

Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức V = 4 3 π . R 3 và suy ra kết luận.

Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.

Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.

Vì  B A C = 2 β = 60 ° , A M = 9 c m .

⇒ B M = M C = 3 3 A B = A C = 6 3 = B C ⇒ Δ A B C  đều.

Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên  I H = I M = A M 3 = 3

Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì Δ A B C đều nên dẫn đến Δ A B ' C '  đều.

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp:

J K = J G = A G 3 = A M 9 = 1

Vậy tổng thể tích là:

V 1 + V 2 = 4 3 π . I H 3 + 4 3 π . J K 3 = 112 π 3

Chú ý khi giải:

Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các khối cầu.

Chọn đáp án D

Vì các mặt đáy của hình trụ vuông góc với trục OO’ tại O và O’ nên chúng tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO’.

Gọi I là trung điểm của đoạn OO’. Ta có I là tâm của mặt cầu. Kẻ IM vuông góc với một đường sinh nào đó (M nằm trên đường sinh) ta đều có IM = r là bán kính của mặt trụ đồng thời điểm M cũng thuộc mặt cầu. Vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

Đáp án C

Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ)

Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r.

Goi I là tâm của tam giác A B C ⇒ S i ⊥ A B C .

Tam giác ABC đều cạnh 2 r ⇒ A I = 2 r 3 .

Tam giác SAI vuông tại I, có S I = S A 2 − I A 2 = 4 r 2 − 2 r 3 2 = 2 6 3 r .

Ta thấy rằng Δ S M H ~ A   S I g . g suy ra

S M S A = S H A I ⇒ S M = S A . A H A N = 2 r . r 2 r 3 = r 3 .

Vậy chiều cao của khối nón là  h = S M + S I + I D = r 3 + 2 6 3 r + r = r 1 + 3 + 2 6 3 .