Cách 1:
\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\) cm

Từ D kẻ \(DH\perp BC\) tại H

Xét hai tam giác vuông DHB và DAB có:

\(\widehat{DBH}=\widehat{DBA}\) ( do BD là tia phân giác góc B)

BD chung

Nên \(\Delta DHB=\Delta DAB\left(ch-gn\right)\)

Suy ra \(HB=AB=6cm\Rightarrow HC=4cm\) và \(DH=DA\)

Áp dụng định lý pytago vào tam giác DHC vuông tại H có:

\(DC^2=4^2+DH^2\) \(\Leftrightarrow\left(AC-AD\right)^2=16+DA^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(8-AD\right)^2=16+AD^2\)

\(\Leftrightarrow AD=3\) \(\Rightarrow BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=3\sqrt{5}\) cm

Cách 2:

\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{DC}{5}=\dfrac{DA}{3}=\dfrac{DC+DA}{5+3}=\dfrac{AC}{8}=\dfrac{8}{8}=1\)

\(\Rightarrow DC=5,DA=3\)

Làm tương tự như trên 

o. Tính BE

Có \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{EA}{EA+AC}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow\dfrac{EA}{EA+8}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow EA=12\)

\(BE=\sqrt{ED^2-BD^2}=\sqrt{\left(EA+AD\right)^2-BD^2}=6\sqrt{5}\) ( \(BE\perp BD\) do hai đường phân giác của hai góc kề bù)

Kết luận:...

a/ \(BD\) là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\) hay \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

\(\to\dfrac{DA}{3}=\dfrac{DC}{5}=\dfrac{DA+DC}{3+5}=\dfrac{AC}{8}=\dfrac{8}{8}=1\)

\(\to\begin{cases}DA=3\\DC=5\end{cases}\)

b/ \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.AH.BC\)

\(\to AB.AC=AH.BC\)

\(\to \dfrac{AB.AC}{BC}=AH=\dfrac{6.8}{10}=3,2(cm)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot10=6\cdot8=48\)

hay AH=4,8(cm)

Vậy: AH=4,8cm