n²+2n=n(n+2) là số chính phương

=> n=0

Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40

\(n^2-2n-10\)

\(=n^2-2n+1-11\)

\(=\left(n-1\right)^2-11\)

tim n co ma

\(n^2-2n-10=k^2\left(k\in N\right)\)\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2-k^2=11\Leftrightarrow\left(n-1-k\right)\left(n-1+k\right)=11\)\(=1\cdot11=11\cdot1=-1\cdot-11=-11\cdot-1\)

Giải 4 trường hợp ta được (n;k) = (7;5), (7;-5), (-5;-5), (-5;5) mà n,k thuộc số tự nhiên suy ra n = 7

Vậy với n = 7 và thì biểu thức là số chính phương.