Đợi t qua thi nhé full.

\(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{\left(ab+bc+ca\right)+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{\left(ab+bc+ca\right)+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{\left(ab+bc+ca\right)+c^2}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{3}{2}\)

bạn có đang on không chat vs mình đi

Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!

Ok, giờ chú ý:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.

Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)

\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

schur

Cách 1:

BĐT \(\Leftrightarrow7\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le2\left(a+b+c\right)^3+9abc\)

\(VP-VT=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách 2:

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\) thì 3u = 1. Chú ý \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3u^2\ge3v^2\Rightarrow u^2\ge v^2\)

Cần chứng minh: \(21v^2\le2+9w^3\Leftrightarrow63uv^2\le54u^3+9w^3\)

\(RHS-LHS=9\left(w^3+3u^3-4uv^2\right)+27u\left(u^2-v^2\right)\ge0\)

Đúng theo BĐT Schur bậc 3.

P/s: Em không chắc ở cách 2.

tên fairy tail nghe nó sến súa  !