cho tam giác ABC cân tại A. TRên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối cuả tia CA lấy điểm E sao cho Bh =ce. nối d với E cắt BC tại G ,qua D kẻ đường thẳng song song với AE cắt Bc ở H, chứng minh rằng
a. tam giác BDH cân
b. GD=GE
cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D nằm giữa điểm Avaf B, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE=BD. Đường thẳng qua C song song với ED và đường thẳng qua D song song với AC cắt nhau tại F
Chứng minh rằng BC<FC
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF= BD. Gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh D, I, F thẳng hàng.
Xét ΔABC có
DE//AC
nên \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BD}{AB}\)
hay DE=BD
mà BD=CF
nên DE=CF
Xét tứ giác DEFC có
DE//CF
DE=CF
Do đó: DEFC là hình bình hành
Suy ra: Hai đường chéo DF và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của EC
nên I là trung điểm của DF
Cho tam giác ABC, trên tia đối của BC lấy điểm D, trên tia đối của CD lấy điểm E sao cho BD=BC=CE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC taih H. Qua E kẻ dường thẳng song song với AC cắt AB tại K. Chúng giao nhau tại I. a. Tứ giác PHAC là hình gì? Vì sao? b. Tia IA cát BC tại M. Chứng minh MB=MC. c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để DHKE là hình thang cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH vuông góc BC tại H.
a/ Chứng minh tam giác AHB bằng tam giác AHC và BH = HC.
b/ Cho biết AB = 13cm; BC = 10cm. Vẽ trung tuyến BM của tam giác ABC cắt AH tại G. Tính AH và AG.
c/ Vẽ trung tuyến CN của tam giác ABC. Chứng minh MN song song BC.
d/ Trên cạnh AB lấy điểm D (D nằm giữa N và B) và trên tia đối tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Đường thẳng qua C song song với DE và đường thẳng qua D song song với AC cắt nhau tại F. Chứng minh tam giác DFB cân và FC > BC
cho tam giác ABC cân ở A.Trên cạch AB lấy D , trên tia đối tia CA lấy điểm E sao cho BD =CE.Nối D với E cắt BC tại G ,qua D kẻ đường thẳng song song với AE cắt BC ở H .hạ AI vuông góc BC tại GK , :BK cắt AI ở M . gọi N là trung điểm IK.
cm: AN vuông góc với BK
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD=CE. Đường thẳng qua C song song với ED và đường thẳng qua D song song với AC cắt nhau tại F. CMR BC < FC
cho tầm giác ABC nhọn .Kẻ AH vuông góc với BC trên đoạn HC lấy điểm D sao cho BH = HD qua D kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt tia AH tại điểm E cắt AC tại điểm I tia AD cắt CE tại K chứng mình AB = AD Chứng mình H là trung điểm AE Chứng mình DI = DK Chứng minh IK vuông góc với BC
a/ Xét tg vuông ABH và tg vuông ADH có
AH chung
BH=HD (gt)
=> tg ABH = tg ADH (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)
=> AB = AD
b/
Ta có tg ABH = tg ADH \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DAH}\)
IE//AB \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DEH}\)
\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\) => tg DAE cân tại D => AD = DE
Mà AB = AD (cmt)
=> AB = DE
IE//AB => DE//AB
=> ABED là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hình bình hành)
=> HA = HE (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
c/
Xét tg vuông ACH và tg vuông ECH có
CH chung
HA=HE (cmt)
=> tg ACH = tg ECH (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)
\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ECH}\) (1)
IE//AB \(\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{ABH}\) (góc đồng vị)
\(\widehat{KDC}=\widehat{ADH}\) (góc đối đỉnh)
tg ABH = tg ADH \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ADH}\)
\(\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{KDC}\) (2)
Xét tg IDC và tg KDC có DC chung (3)
Từ (1) (2) (3) => tg IDC = tg KDC => DI = DK
d/
Ta có
tg IDC = tg KDC (cmt) \(\Rightarrow CI=CK\) => tg CIK cân tại C
tg IDC = tg KDC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ICD}=\widehat{KDC}\) => CD là phân giác \(\widehat{ICK}\)
\(\Rightarrow CD\perp IK\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
\(\Rightarrow IK\perp BC\)
Tham Khảo :
Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học Euclid.
Chứng minh AB = AD:
Ta có AH vuông góc với BC, nên tam giác ABC và tam giác AHD là hai tam giác vuông cân.
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có AB = AD (vì hai tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng nhau).
Chứng minh H là trung điểm AE:
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có AH là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, H là trung điểm của cạnh BC (do đường cao chia đôi cạnh đáy).
Chứng minh DI = DK:
Ta có DE || AB (do DE và AB đều song song với BC).
Vì DE || AB và AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có DI/DK = AE/EB (theo định lí đường cao).
Vì H là trung điểm của AE (theo bước 2), nên ta có AE = 2AH.
Từ đó, ta có DI/DK = 2AH/EB.
Vì BH = HD (theo đề bài), nên ta có EB = 2BH.
Từ đó, ta có DI/DK = 2AH/(2BH) = AH/BH = 1.
Vậy, ta có DI = DK.
Chứng minh IK vuông góc với BC:
Ta có DE || AB (do DE và AB đều song song với BC).
Vì IK là đường chéo của tứ giác AIDE, nên ta cần chứng minh tứ giác AIDE là hình bình hành.
Ta đã chứng minh DI = DK (theo bước 3), nên tứ giác AIDE là hình bình hành.
Do đó, ta có IK vuông góc với BC (vì đường chéo của hình bình hành vuông góc với cạnh đáy).
Vậy, các điều kiện đã được chứng minh.
cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, nối D với E, kẻ DH vuông góc với BC (H thuộc BC), EK vuông góc với đường thẳng Bc (K thuộc BC ). Chứng minh: a) BH=CK. b) BC<DE
a: ta có: \(\widehat{KCE}=\widehat{ACB}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
Do đó: \(\widehat{KCE}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔDHB vuông tại H và ΔEKC vuông tại K có
BD=CE
\(\widehat{DBH}=\widehat{ECK}\)
Do đó: ΔDHB=ΔEKC
=>BH=CK