Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng cho trước có độ dài ngắn nhất là khoảng cách từ điểm đã cho đến chân đường vuông góc của đường thẳng đi qua điểm đã cho với đường thẳng cho trước

Gọi đường thẳng đi qua M và vuông góc với y là g=ax+b

=> \(2.a=-1\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow g=a.x+b\Leftrightarrow2=-\dfrac{1}{2}.4+b\Rightarrow b=4\)

=> đồ thị hàm số đi qua M vuông góc với y là \(g=-\dfrac{1}{2}x+4\)

Để 2 đồ thị trên cắt nhau

\(\Rightarrow2x+3=-\dfrac{1}{2}x+4\Rightarrow x=\dfrac{2}{5}\) Thay \(x=\dfrac{2}{5}\) vào y=2x+3

\(\Rightarrow y=2.\dfrac{2}{5}+3=\dfrac{19}{5}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{19}{5}\right)\)

1.

để ............. căt nhau tại 1 điểm trên trục tung thì:

\(\hept{\begin{cases}0\ne2\left(T.m\right)\\2+m=3-m\end{cases}}\)

<=>2m=1

<=>m=1/2

b: Để hàm số đồng biến thì 2-m>0

hay m<2

b: Để hàm số đồng biến thì 2-m>0

hay m<2

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+2mx-3m=-2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x-3m-3=0\)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình \(\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x-3m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+5m+4>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -4\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=-m-1\pm\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(x=-m-1+\sqrt{m^2+5m+4}\Rightarrow y=2m+5-2\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(\Rightarrow A\left(-m-1+\sqrt{m^2+5m+4};2m+5-2\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(x=-m-1-\sqrt{m^2+5m+4}\Rightarrow y=2m+5+2\sqrt{m^2+5m+4}\)

\(\Rightarrow B\left(-m-1-\sqrt{m^2+5m+4};2m+5+2\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-2\sqrt{m^2+5m+4};4\sqrt{m^2+5m+4}\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{4\left(m^2+5m+4\right)+16\left(m^2+5m+4\right)}=2\sqrt{5\left(m^2+5m+4\right)}=4\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2+5m+4}=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+5m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(tm\right)\\m=-5\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d): y = -2x + 3 và 

(P) : x² + 2mx - 3m = 0

x² + 2mx - 3m = -2x + 3 

⇔ x² + 2(m+1) - 3(m+1) = 0 (*)

Để (d) cắt (P) taị 2 điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó Δ' > 0 

⇔ (m+1)² + 3(m+1) > 0

⇔ (m+1)(m+4) > 0

⇔ m ∈ R \ (-4 ; -1) (!)

Do A,B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ của chúng là nghiệm của (*)

Theo định lí Viet : \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2m-2=-2\left(m+1\right)\\x_A.x_B=-3m-3=-3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\) 

Do A,B ∈ d nên hoành độ và tung độ của chúng thỏa mãn

y = -2x + 3 hay \(\left\{{}\begin{matrix}y_A=-2x_A+3\\y_B=-2x_B+3\end{matrix}\right.\)

Để giải được bài này thì mình sẽ sử dụng công thức tính độ dài của vecto AB (nếu bạn chưa học đến thì xin lỗi)

AB = |\(\overrightarrow{AB}\)| = 4\(\sqrt{5}\)

⇒ (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = 80

⇒ (x_A - x_B)² + (-2x_A + 2x_B)² = 80

Sau đó bạn thay m vào rồi biến đổi, kết quả ta được

(m+1)(m+4) = 4 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-5\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn (!) )

Vậy tập hợp các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 

M = {0 ; -5}

1/ta có: y = mx + 3 và y = (2m + 1)x - 5 là hai hs bậc nhất nên:

\(\hept{\begin{cases}m\ne0\\2m+1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne0\\m\ne-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Đồ thị của hai hs đã cho là 2 đường thẳng song song vs nhau khi và chỉ khi:

\(\hept{\begin{cases}m=2m+1\\3\ne-5\left(HiểnNhien\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)(thỏa mãn)

kết hợp vs điều kiện, ta có m = -1 ; \(m\ne-\frac{1}{2}\); \(m\ne0\)thì đồ thị 2 hs là 2 đường thằng song song