Cho k\(\in Z\) đặt \(x_k=\frac{3k^2+3k+1}{k^3\left(k+1\right)^3}\)và\(\left(k+1\right)^3-k^3=3k^2+3k+1\)
Rút gọn \(P=x_1+x_2+x_3+...+x_{2018}\)
Cho dãy \(\left(x_k\right)\) được xác định như sau: \(x_k=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}\)
Tìm \(limu_n\) với \(u_n=\sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}\).
Ủa đề bài như này là sao bạn? Cho dãy x(k), nhưng lại đi tìm u(n)?
Ok start
\(\dfrac{1}{2!}=\dfrac{2!-1}{2!}=1-\dfrac{1}{2!};\dfrac{2}{3!}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{3!-2!}{3!.2!}=\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\)
\(\Rightarrow\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}\)
Explain: \(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{\left(k+1\right)k!-k!}{k!\left(k+1\right)!}=\dfrac{k+1-1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)!}\)< Có nên xài quy nạp mạnh cho chặt chẽ hơn ko nhỉ?>
Nhớ lại 1 bài toán lớp 6 cũng có dạng như này
\(\Rightarrow x_k=1-\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}\)
Xet \(x_{k+1}-x_k=1-\dfrac{1}{\left(k+2\right)!}-1+\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}=\dfrac{1}{\left(k+1\right)!}-\dfrac{1}{\left(k+2\right)!}>0\Rightarrow x_{k+1}>x_k\)
\(\Rightarrow x_1< x_2< ...< x_{2011}\Rightarrow x_1^n< x_2^n< ...< x_{2011}^n\)
\(\Rightarrow\sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}< \sqrt[n]{x_{2011}^n+x^n_{2011}+...+x^n_{2011}}=\sqrt[n]{2011.x^n_{2011}}=x_{2011}.\sqrt[n]{2011}\)
Mat khac: \(x_{2011}=\sqrt[n]{x^n_{2011}}< \sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+...+x_{2011}^n}\)
\(\Rightarrow x_{2011}< \sqrt[n]{x^n_1+x_2^n+...+x_{2011}^n}< \sqrt[n]{2011}x_{2011}\)
\(\lim\limits x_{2011}=1-\dfrac{1}{2012!}\)
\(\lim\limits\sqrt[n]{2011}x_{2011}=\lim\limits2011^0.x_{2011}=1-\dfrac{1}{2012!}\)
\(\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=1-\dfrac{1}{2012!}\)
Xin dung cuoc choi tai day, ban check lai xem dung ko, tinh tui hay au co khi sai :v
Cho ak=\(\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^2}\).Tính a1+a2+...+a9
Câu hỏi của Phạm Hữu Nam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link trên!
1 Cho các số a1,a2,...được xác định bởi công thức : \(a_k=\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}\) với k là số nguyên dương . Tính tổng 1+a1+a2+...+a9
Ta có:
\(a_k=\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}=\frac{k^3+3k^2+3k+1-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{\left(k+1\right)^3-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{1}{k^3}-\frac{1}{\left(k+1\right)^3}\)
=> \(a_1=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\); \(a_2=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}\); \(a_3=\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}\); ....; \(a_9=\frac{1}{9^3}-\frac{1}{10^3}\)
=> \(1+a_1+a_2+...+a_9=1+1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{10^3}\)
\(2-\frac{1}{10^3}=\frac{1999}{1000}\)
Chị quản lí giúp em bài này nữa ạ
1 Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc ABD=45 độ - \(\frac{gócBAC}{4}\) VẼ DE // CB(E thuộc AB).Chứng minh
a)Tứ giác BEDC là hình thang cân
b) EB=ED
c) CE là phân giác góc C
Chị Chi ơi cho em hỏi
Tại sao (k2+k)3=k3(k-1)3 ạ
Chứng tỏ: \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)
\(VT=\left(k+1\right)\left[k\left(k+2\right)-k\left(k-1\right)\right]=\left(k+1\right)\left(k^2+2k-k^2+k\right)\)
\(=\left(k+1\right).3k=VP\)
Cho a1, a2,..., a9 được xác định bởi công thức:
ak=\(\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}\) với mọi k\(\ge\)1. Tổng của 1+a1+a2+...+a9=?
Cho PT: \(x^2-4x-3k+1\)
b)Tìm k có 2 nghiệm phương trình
c)Giải phương trình. Tính x1+x2 , x1.x2
d)Giải phương trình. Tính \(\left(x_1+x_2\right)3x_1x_2\)
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(-2\right)^2+1.\left(3k-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow3k+3>0\Leftrightarrow k< -1\)
Vậy k < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với k < -1 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=2+\sqrt{3k+3}\) và \(x_2=2-\sqrt{3k+3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1.x_2=1-3k\end{matrix}\right.\)
d) \(\left(x_1+x_2\right).3x_1x_2=4.3.\left(1-3k\right)=12-36k\)
Hãy giải thích vì sao:
a) \(3k\left(3k+3\right)+12=9\left(k+1\right)+12\)
\(3k\left(3k+3\right)+12=9k^2+9k+12=9k\left(k+1\right)+12\)
Cho a1;a2;...;a9 được xác lập bởi công thức:\(a_k=\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}\) với mọi k lớn hơn hoặc bằng 1.Tính tổng:\(1+a_1+a_2+...+a_9\)
Chứng minh rằng với k \(\in\) N* ta luôn có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\)
Ta có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =k\left(k+1\right)\left[\left(k-2\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =k\left(k+1\right)\left[k-2-k+1\right]\\ =k\left(k+1\right)\left\{\left[k+\left(-k\right)\right]+\left(2+1\right)\right\}\\ =k\left(k+1\right).3\\ =3.k\left(k+1\right)\)
Vậy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =3.k.\left(k+1\right)\)
Ta có:
\(VT=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[k+2-k+1\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k-k\right)+\left(2+1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right).3\)
\(=3k\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy với \(k\in N\)* thì ta luôn có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\) (Đpcm)