Gọi T là tập giá trị của A. Điều kiện để \(m\in T\) là hệ phương trình sau có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\)

\(\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)

                                              \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{xy\left(x+y\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)

                                               \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=m\end{cases}\)  (1)

Đặt \(S=x+y\)

       \(P=xy;\left(S^2\ge4P\right)\) . Hệ (1) trở thành \(\begin{cases}SP=S^2-3P\\\frac{S^2}{P^2}=m\end{cases}\) (2)

Hệ (1) có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\) khi và chỉ khi hệ (2) có nghiệm (S,P) thỏa mãn \(S^2\ge4P;P\ne0\) do

\(S^2-3P=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) với mọi  \(x\ne0;y\ne0\)  nên SP > 0 \(\Rightarrow\frac{S}{P}>0\)

Như thế :

* Nếu \(m\le0\) thì hệ (2) vô nghiệm

* Nếu m > 0 thì

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\begin{cases}SP=S^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{m}P^2=mP^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)

      \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P^2-3P=0\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) do \(P\ne0\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P=3\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) (3)

Hệ (3) có nghiệm khi và chỉ khi \(m-\sqrt{m}\ne0\Leftrightarrow m\ne1\), lúc này từ (3) ta có :

\(P=\frac{3}{m-\sqrt{m}}\Rightarrow S=\frac{3}{\sqrt{m}-1}\)

Hệ (2) có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4;P\ne0\) khi và chỉ khi:

\(0< m\ne1\) và \(\frac{9}{\left(\sqrt{m}-1\right)^2}\ge\frac{12}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(3\sqrt{m}\ge4\left(\sqrt{m}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(\sqrt{m}\le4\Leftrightarrow m\in\) (0;16] \ \(\left\{1\right\}\)

Tập giá trị của A là  (0;16] \ \(\left\{1\right\}\) suy ra max A = 16 ( không tồn tại min A)

Nhưng lâu lâu mk ms lên máy tính bàn ms gõ chữ đc thôi, còn h mk onl=ipad nên chụp hình gửi trả lời, thế mà cx bị cấm???

\(A=\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2+2xy+x^2}-\frac{x^3+y^3}{x^4-y^4}\right)\left(x\ne\pm y;y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4xy}{\left(y^2-x^2\right)\left(y^2+x^2\right)}:\left(\frac{1}{\left(y+x\right)^2}-\frac{x^3+y^3}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right)\)

\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Rightarrow3x^2+3y^2-10xy=0\)

\(\Rightarrow\left(3x^2-9xy\right)-\left(xy-3y^2\right)=0\Rightarrow3x\left(x-3y\right)-y\left(x-3y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-3y\right)\left(3x-y\right)=0\Rightarrow3x-y=0\left(y>x>0\Rightarrow x-3y< 0\right)\Rightarrow3x=y\)

\(M=\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-3x}{x+3x}=\frac{-2x}{4x}=-\frac{1}{2}\)

chs bb ak

Ta có: \(x^2-2y^2=xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2-y^2-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)-y\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-2y\right)=0\)

Mà \(x+y\ne0\)

\(\Rightarrow x-2y=0\)

\(\Rightarrow x=2y\)

\(\Rightarrow P=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{y}{3y}=\frac{1}{3}\)

Đặc P ta có

P= x2 - 2y2 =xy

<=> x2 - y2 - y2 -xy =0

=> (x-1) (x+y) -y (x+y) -1

=> (x+y_(x-2y)=0

Vậy 

x+y #0

=> x- 2y =0

=>x=2y

=>P=2y -y trên 2y + y =y trên 3y =1/3

giúp mình với nhé!