Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
AI ⊥ BC
+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
DI ⊥ BC
+) Ta có: 
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của canh BC
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)
Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh BC ⊥ AD
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI
Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
a) Tam giác ABC cân đỉnh A và có I là trung điểm của BC nên AI ⊥ BC. Tương tự tam giác DBC cân đỉnh D và có có I là trung điểm của BC nên DI ⊥ BC. Ta suy ra:
BC ⊥ (AID) nên BC ⊥ AD.
b) Vì BC ⊥ (AID) nên BC ⊥ AH
Mặt khác AH ⊥ ID nên ta suy ra AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
cho tam giác abc vuông tại A có AB=6cm AC=8cm đường cao AH, đường phân giác BD.
a)tính độ dai đoạn thẳng BC, AD, DC.b) gọi I là giao điểm của ahvaf bd. chứng minh rằng AB.BI=BD.HB.c) Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD . Kẻ DE vuông góc với BC.a) chứng minh rằng: tam giác ABD= tam giác EBD.b) kẻ AH vuông góc với BC,AH cắt BD tại I.Chứng minh rằng: AH song song với DE,tam giác AID cân
a) Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (vì BD là phân giác của góc $\angle ABC$), và $\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC). Vậy tam giác ABD và tam giác EBD có cặp góc đồng nhất, nên chúng bằng nhau theo trường hợp góc - góc - góc của các tam giác đồng dạng. Do đó, ta có tam giác ABD = tam giác EBD.
b) Ta cần chứng minh AH song song với DE, và tam giác AID cân.
Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (theo phần a)), và $\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC). Vậy tam giác ABD và tam giác EBD đồng dạng. Do đó:
$$\frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BD} = 1$$
$$\Rightarrow AB = EB$$
Mà $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AB = AH \cos(\widehat{BAC})$. Tương tự, ta có $EB = ED \cos(\widehat{BAC})$. Vậy:
$$\frac{AH}{ED} = \frac{AB}{EB} = 1$$
Do đó, $AH = ED$, hay $AH$ song song với $DE$.
Tiếp theo, ta chứng minh tam giác $AID$ cân. Ta có:
$$\angle AID = \angle BID - \angle BIA = \frac{1}{2} \angle ABC - \angle BAC$$
Mà $\angle ABC = 90^\circ + \angle BAC$, nên:
$$\angle AID = \frac{1}{2}(90^\circ + \angle BAC) - \angle BAC = \frac{1}{2}(90^\circ - \angle BAC)$$
Tương tự, ta có:
$$\angle ADI = \frac{1}{2} \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$
Vậy tam giác $AID$ có hai góc bằng nhau là $\angle AID$ và $\angle ADI$, nên đó là tam giác cân.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng $AH$ song song với $DE$, và tam giác $AID$ cân.
a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có
BD chung
góc ABD=góc EBD
=>ΔABD=ΔEBD
b: AH vuông góc BC
DE vuông góc BC
=>AH//DE
4.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm, đưong cao AH, đường phân giác BD.
a, Tính độ dài đoạn thang: BC, AD, DC?
b, Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng: AB. BI=BD.HB ?
c, Chứng minh tam giác AID là tam giác cân ?
a: BC=10cm
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên AD/AB=CD/BC
=>AD/3=CD/5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau, ta được:
AD/3=CD/5=(AD+CD)/(3+5)=8/8=1
=>AD=3cm; CD=5cm
b: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có
góc ABD=góc HBI
Do đó:ΔBAD đồng dạng với ΔBHI
Suy ra: BA/BH=BD/BI
hay \(BA\cdot BI=BH\cdot BD\)
c: góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC
góc ADI=90 độ-góc ABD
mà góc DBC=góc ABD
nên góc AID=góc ADI
hay ΔAID cân tại A
Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh \(BC\perp AD\)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI
Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)
cho tam giác ABC nhọn,Đường thẳng d vuông góc với AB tại A.tia phân giác của góc B cắt đường cao AH tại I và cắt đường thẳng d tại D.a)chứng minh tam giác AID cân b)kẻ DK vuông góc với BC tại K.Chứng minh tam giác ADI=tam giác KDI.c)trên tia đối của tia HI lấy E sao cho HE=HI.Chứng minh tứ giác ADKE là hình thang cân
Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với AB=AC=a; BC=\(\dfrac{6a}{5}\). Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD.
a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD)
b) Cho AD=\(\dfrac{4a}{5}\) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC).
Do ABC cân \(\Rightarrow AM\perp BC\)
Mà \(DA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow DA\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(ADM\right)\Rightarrow BC\perp AH\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(BCD\right)\)
b.
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||AC\\MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{\left(AC;DM\right)}=\widehat{\left(MN;DM\right)}=\widehat{DMN}\)
\(DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{AD^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{89}}{10}\)
\(AM=\sqrt{AB^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\dfrac{4a}{5}\Rightarrow DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\dfrac{4a\sqrt{2}}{5}\)
Định lý hàm cos cho tam giác DMN:
\(cos\widehat{DMN}=\dfrac{DM^2+MN^2-DN^2}{2DM.MN}=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}\)
\(\Rightarrow\widehat{DMN}\approx55^033'\)
c.
M là trung điểm BC nên hiển nhiên \(G_1\) nằm trên AM và \(G_2\) nằm trên DM
Do \(G_1\) là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\dfrac{AG_1}{AM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{MG_1}{AM}=\dfrac{1}{3}\)
Do \(G_2\) là trọng tâm DBC \(\Rightarrow\dfrac{DG_2}{DM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{MG_2}{DM}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{MG_1}{AM}=\dfrac{MG_2}{DM}\Rightarrow G_1G_2||DA\) (Talet đảo)
Mà \(DA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow G_1G_2\perp\left(ABC\right)\)
