Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng
A. 3 a 3 24 .
B. 2 π a 3 24 .
C. 2 2 a 3 9 .
D. 3 π a 3 8 .
Đáp án B
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.
Δ A C D = Δ B C D ⇒ A N = B N ⇒ Δ N A B cân tại N ⇒ M N ⊥ A B
Tương tụ ta có M N ⊥ C D .
Ta có: P Q = R S = M N = A N 2 − A M 2 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2 .
Suy ra d G , A B = d G , C D = 1 2 M N = a 2 4 .
Chứng minh tương tự ta có d G , A C = d G , A D = d G , B D = d G , B C = a 2 4
Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu R = a 2 4 . Suy ra thể tích khối cầu là V = 4 3 π R 3 = 4 3 π a 2 4 3 = 2 π a 3 24 .
Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD
Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD
A. V = a 3 2 12
B. V = a 3 11 24
C. V = a 3 3 4
D. V = a 3 8
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ABCD là
A. 3 a 3 4
B. 3 a 3 12
C. 2 a 3 12
D. 2 a 3 4
Đáp án C
Gọi M là trung điểm của CD, H là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có A H ⊥ B C D (giả thiết ABCD là tứ diện đều)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ABCD là
Chọn C
Gọi M là trung điểm của CD, H là trọng tâm của tam giác BCD
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ABCD là
A. 2 a 3 4
B. 2 a 3 12
C. 3 a 3 12
D. 3 a 3 4
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của CD , H là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có AH ⊥ BCD (giả thiết ABCD là tứ diện đều) suy ra
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .
A. 7 2 a 3 216
B. 11 2 a 3 216
C. 13 2 a 3 216
D. 2 a 3 18
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V
A. 11 2 a 3 216
B. 7 2 a 3 216
C. 2 a 3 8
D. 13 2 a 3 216
Đáp án A
Nối chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện gồm PQD.NMB và khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích A.
Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE, ∆ABE
Gọi S là diện tích
Họi h là chiều cao của tứ diện ABCD
Khi đó
Suy ra